Page 2 - TOAN CHUYEN DE

Chương 1

HÀM BIẾN PHỨC

1.1. Hàm phức

1.1.1. Khái niệm hàm phức

a) Định nghĩa 1.1
Cho D  ℂ, ánh xạ f:D → ℂ được gọi là một hàm phức với biến số phức.
Như thế, theo định nghĩa, ta có zD, w ℂ sao cho w = f(z). Khi đó, người
ta nói rằng hàm f xác định tại z hay f(z) là ảnh của z qua f hay trị của hàm f tại z và z
được gọi là biến số hay đối số. Ký hiệu hàm là w = f(z).
Tập D được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm f(z), còn tập
f(D)={w ℂ, zD để có f(z) = w} gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm f.

Chú ý:
Trong giáo trình này chúng ta chỉ nghiên cứu các hàm phức có tính đơn trị, khi nào
nghiên cứu hàm phức đa trị thì sẽ nói rõ hơn.

Ví dụ 1.1:

Hàm ( ) = √ là một hàm đa trị (do với mỗi giá trị của z có tới n giá trị của
hàm f(z) có miền xác định là ℂ.
1
Hàm ( ) = là hàm đơn trị có miền xác định là ℂ \{0}.

Chú ý:
Nếu hàm phức được cho bởi các biểu thức giải tích thì miền xác định của nó nếu
không nói gì hơn thì được hiểu là tập tất cả các giá trị của đối số z mà biểu thức cho hàm
có nghĩa.
1.1.2. Biểu diễn hình học hàm phức

a) Tách phần thực, phần ảo của hàm phức

Xét hàm w = f(z), zD. Giả sử có z = x+iy và w = u+iv (x, y, u ,vℝ). Khi đó
ta thấy phần thực u, phần ảo v đều phụ thuộc vào x, y nên ta có:
w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), (1.1)
việc biểu diễn hàm phức ở dạng (1.1) được gọi là tách phần thực, phần ảo của hàm f(z).
Ví dụ 1.2:

2
Tách phần thực, phần ảo hàm f(z) = 2z .
Giải:
2
2
2
2
2
Ta có, f(z) = 2(x + iy) = 2(x + 2xyi – y ) = 2(x – y ) + 4xyi.
2
2
Vậy có, phần thực u = 2(x – y ) và phần ảo v = 4xy.
b) Biểu diễn hàm phức
Xét 2 mặt phẳng phức là Oxy (để biểu diễn số phức z = x + iy) và O’uv (để
biểu diễn số phức w = f(z) = u + iv).

Trang 2