Page 6 - TOAN CHUYEN DE

1.2. Phép tính vi phân hàm phức

1.2.1. Đạo hàm, vi phân của hàm phức
a) Định nghĩa đạo hàm

Giả sử hàm f(z) xác định trong một lân cận của điểm z 0. Nếu tồn tại giới hạn
( )− ( )
0
lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại điểm z 0 và được
→ 0 − 0
ký hiệu là: f’(z 0) hay ( ).
0

Từ định nghĩa trên ta suy ra
′
0
( ) = lim ( )− ( ) . (1.2)
0
→ 0 − 0
0
0
Nếu đặt h = z – z 0 thì (1.2) được viết lại là ( ) = lim ( +ℎ)− ( ) .
′
0
ℎ→0 ℎ
Chú ý:
′
Từ (1.2) ta có công thức tính đạo hàm của hàm f(z) tại một điểm zD là ( ) =
f(z+h)−f(z)
lim .
h→0 h
Hệ quả 1.1. Giả sử f(z) là một hàm thực biến phức (tức là f(z)ℝ, zℂ). Khi
đó, nếu hàm f(z) có đạo hàm tại z 0 thì f’(z 0) = 0.
b) Định nghĩa vi phân
Hàm phức f(z) được gọi là khả vi tại điểm z 0 nếu nó xác định trong một lân
cận của điểm z 0 và số gia của hàm tại z 0 có thể biểu diễn được dưới dạng:

f(z 0) = f(z 0 + z) – f(z 0) = A.z + z.
Trong đó, z là vô cùng bé bậc cao hơn so z. Khi đó, biểu thức A.z được
gọi là vi phân của hàm f(z) tại điểm z 0, ký hiệu là df(z 0) = A.z.
Mệnh đề 1.1. Hàm f(z) khả vi tại điểm z 0 khi và chỉ khi f(z) có đạo hàm tại z 0.

Khi đó, ta có df(z 0) = f’(z 0)z, xét vi phân của hàm f(z) = z ta thấy df(z 0) =
dz=z và vì thế công thức vi phân tại điểm z 0 là: df(z 0) = f’(z 0)dz, còn tại một điểm z
bất kỳ sẽ là df(z) = f’(z)dz.

Mệnh đề 1.2. Nếu f(z) khả vi tại z 0 thì cũng liên tục tại z 0. Điều ngược lại cơ
bản là không đúng.
1.2.2. Điều kiện khả vi

Định lý 1.2 (Định lý Cauchy-Riemann)
Cho hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z = x + iy. Hàm f(z) được gọi là khả vi
tại điểm z 0 = x 0 +iy 0 khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi tại (x 0,y 0) và thỏa
mãn điều kiện sau (gọi là điều kiện Cauchy-Riemman, viết tắt là điều kiện C-R):

( , ) = ( , ); ( , ) = − ( , ).
0
0
0
0
0
0
0
0

′
Khi đó, ta có ( ) = ( , ) + ( , ).
0
0
0
0
0

4
4
Ví dụ 1.4. Cho hàm f(z) = x + xy + iy . Tìm tất cả các điểm khả vi và tính f’(z)
tại những điểm ấy (nếu có).
Trang 6