Page 10 - TOAN CHUYEN DE

1.2.9. Tìm hàm phức f(z)=u(x,y)+iv(x,y) biết phần ảo

a. ( , ) = − b. v(x,y) = 2xy+3x
2
( + ) + 2

1.2.10. Tìm ảnh của đường thẳng nằm trên tia = + qua phép biến hình
3
1+
= .
1−

1.3. Phép tính tích phân hàm phức

1.3.1. Định nghĩa và các tính chất
a) Định nghĩa 1.4

Tích phân hàm phức trên khoảng (a,b)
Xét hàm phức biến thực dạng f(t) = u(t) + iv(t), xác định và liên tục trên (a,b)ℝ.
Ta định nghĩa

∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) . (1.4)

Chú ý: Các tích phân ở vế phải của (1.4) đều là các tích phân thực thông thường.

Tích phân trên cung  bất kỳ
Xét hàm phức f(z) xác định và liên tục trên cung  bất kì, giả sử  là một cung
trơn từng khúc và có phương trình dạng z = z(t) với a < t< b. Khi đó ta định nghĩa

′
∫ ( ) = ∫ [ ( )] ( ) . (1.5)

Nếu  là một cung kín, ta ký hiệu ∮ ( ) và chiều lấy tích phân trên  là

chiều dương.

Chú ý:

Chiều dương trên cung  là chiều mà một người đi dọc theo biên sẽ thấy miền trong
nằm phía bên trái.

Đặc biệt, nếu f(z) = u(x;y) + iv(x;y) (z = x + iy) thì ta có công thức tính tích
phân sau:

∫ ( ) = ∫( − ) + ∫( + ). (1.6)

Công thức (1.6) gọi là công thức tách phần thực, phần ảo của tích phân phức.

b) Tính chất
1. Tính tuyến tính

Trang 10