Page 8 - TOAN CHUYEN DE

b) Ý nghĩa hình học, tính bảo giác của hàm giải tích

Xét hàm f(z) khả vi tại z 0 và có |f(z 0)|  0, z 0D.
Giả sử z 1, z 0(L 1), z 1→ z 0 dọc ( 1) thì khi đó f(z 1), f(z 0)f(L 1) và f(z 1)→ f(z 0)
1
0
′
dọc f( 1). Do f(z) khả vi tại z 0 nên ta có: ( ) = lim ( )− ( )
0
→ 0 − 0
1
1
 argf’(z) = (O’u;w 0T’ 1) – (Ox;z 0T 1). (a)
Giả sử z 2, z 0(L 2), z 2→ z 0 dọc (L 2) thì khi đó f(z 2), f(z 0)f( 2) và f(z 2)→ f(z 0)
dọc f( 2). Tương tự trên ta có:
argf’(z) = (O’u, w 0T’ 2) – (Ox, z 0T 2). (b)
Từ (a) và (b) suy ra (w 0T’ 1, w 0T’ 2) = (z 0T 1, z 0T 2) =  điều này đã chứng tỏ
rằng góc giữa 2 đường cong ( 1) và ( 2) đi qua z 0 được bảo toàn qua phép biến hình
w = f(z).
Tóm lại, nếu f(z) giải tích trên D thì tại mọi điểm zD góc giữa 2 đường cong
bất kỳ qua z được bảo toàn (còn gọi là tính bảo giác) qua phép biến hình w = f(z)
(xem tham khảo hình vẽ phía dưới)
y v
( 2) T 2 f( 2) T’ 2
z 2  T 1 ( 1) f(z 2)  T’ 1
z 0 z 1 f(z 1) f( 1)
f(z 0)
O x O’ u

Hình 1.2

1.2.6. Hàm điều hoà, quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hoà
a) Định nghĩa 1.4

Hàm 2 biến u(x, y) được gọi là hàm điều hòa nếu nó có đạo hàm riêng đến cấp
2
2

2 và thỏa mãn phương trình Laplace: ∆ = + = 0.
2 2
b) Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hoà
Giả sử u, v là 2 hàm điều hòa thoả mãn điều kiện C-R. Khi đó, u và v được
gọi là cặp hàm điều hòa liên hợp hay nói hàm v là liên hợp với hàm u.
Định lý 1.3. Giả sử u, v là cặp hàm điều hòa. Khi đó hàm phức f(z) = u + iv là
hàm giải tích khi và chỉ khi cặp hàm u, v là liên hợp.
Giả sử u là một hàm điều hoà trong miền D đơn liên. Khi đó hàm v liên hợp
với hàm u xác định bởi công thức sau:

( ; ) = − ∫ ( ; ) + ∫ ( ; ) + . (1.3)
0

0 0
Trong đó, (x 0, y 0)D là điểm bất kỳ và C là hằng số tuỳ ý.

2
2
Ví dụ 1.6. Cho hàm u = x – y . Tìm hàm giải tích f(z).
Giải:
Theo công thức (1.3) ta có hàm liên hợp

Trang 8