Page 7 - TOAN CHUYEN DE

Giải:
4
3
3
4
Ta có, u = x + xy, v = y  u’ x = 4x + y; u’ y = x ; v’ x = 0 ; v’ y = 4y .
Rõ ràng các hàm u, v khả vi tại mọi điểm (x,y). Ngoài ra, ta có điều kiện C-R 
2
4 + = 4 3 = 0
{ ⇔ [ 1.
= 0 = 0; = ± 2
1
1
Vậy, có 3 điểm khả vi của f(z) là z 1(0,0), z 2(0,- ), z 3(0, ). Khi đó, đạo hàm
2 2
1
1
tại các điểm này lần lượt là f’(z 1) = 0, f’(z 2) = - , f’(z 3) = .
2 2
Mệnh đề 1.2. Điều kiện C-R  điều kiện = 0.
̅
1.2.3. Một số hàm phức cơ bản và đạo hàm của nó

TT Hàm Đạo hàm TT Hàm Đạo hàm

1
1 f(z) = C f’(z) = 0 5 f(z) = cosz = (e + e ) f’(z) = - sinz
iz
-iz
2
n-1
2 f(z) = z n f’(z) = nz 6 f(z) = sinz = (e – e ) f’(z) = cosz.
1
-iz
iz
(nℕ) 2
z
z
3 f(z) = e f’(z) = e 7 f(z) = tanz = f’(z) = 1
2

1
4 f(z) = lnz f’(z) = 8 f(z) = cotz = f’(z)=− 1

2

1.2.4. Các công thức đạo hàm cơ bản
Các định lý về đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,... hàm hợp, hàm ngược
được xác định tương tự như đối với các định lý tương ứng của hàm một biến số thực
đã biết.
1.2.5. Hàm giải tích

a) Định nghĩa 1.3
Hàm f(z) được gọi là giải tích hay chỉnh hình tại z 0 nếu nó khả vi tại mọi điểm
thuộc một lân cận nào đó của z 0.
Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm zD mở, liên thông thì ta nói nó giải tích trên miền D.

Nhận xét:
Nếu f(z) khả vi tại mọi điểm zD mở, liên thông thì f(z) giải tích trên miền D.
Điều kiện giải tích đòi hỏi chặt chẽ hơn rất nhiều so với tính khả vi của hàm.

2
Ví dụ 1.5. Xét tính khả vi, giải tích của hàm f(z) = x + y .
2
Giải:

Ta có, ( ) = . ̅ suy ra = = 0 ⇔ = 0, vậy f(z) chỉ khả vi tại duy nhất
̅
một điểm z = 0 và như thế hàm này không giải tích tại bất cứ điểm nào trong ℂ.

Trang 7