Page 11 - TOAN CHUYEN DE

∫[ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( ) .

2. Tính cộng tính trên đường lấy tích phân

∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .

+ 2 1 2
1
3. Tính phụ thuộc hướng

∫ ( ) = − ∫ ( ) ,

− +
+
-
với hướng trên  là ngược với hướng trên  .
Ví dụ 1.7. Tính = ∫ ( − ) , với  = (a;r) (đường tròn tâm a, bán kính

r) hướng dương và nℤ.
Giải:
it
it
Phương trình của  có dạng z = a + re , 0 < t < 2. Khi đó ta có dz = ire dt,
2 +1 ( +1)
nên = ∫ . . .
0
Với n = -1 thì ta có, I = 2i.
Với n  -1 thì ta có, = +1 . ( +1) | 2 = +1 . ( ( +1)2 − 1) = 0.
+1 0 +1
1.3.2. Công thức Newton-Leibnitz

Nếu F’(z) = f(z) hay dF(z) = f(z)dz, zD thì ta nói rằng F(z) là một nguyên
hàm của f(z) trên D.
Định lý 1.4. Giả sử f(z) liên tục trên D và có trong D nguyên hàm F(z),  là
cung trơn từng khúc trong D có phương trình dạng z = z(t) với a < t < b. Khi đó, ta
có công thức Newton-Leibnitz sau:

∫ ( ) = [ ( )] − [ ( )]. (1.7)

2
Ví dụ 1.8. Cho 2 điểm A(0,1), B(1,1). Tính = ∫ , = ∫ với  có

một trong các dạng sau:
1. Đường gấp khúc OAB, O là gốc tọa độ.
2. Đoạn thẳng nối O với B.
2
3. Đường cong y = x nối O với B.
Có nhận xét gì về các kết quả đã tính được ở trên?

Giải:
1.
1 1 1
2
2
2
2
2
= ∫ = ∫ + ∫ = ∫ + ∫ 2 = + 4 .
0 0 3

Trang 11