Page 14 - TOAN CHUYEN DE

Giải:
2
Ta có, điểm z = 1 nằm trong đường tròn (0;2) và hàm f(z) = z suy ra f’(z) =2z,
"(1)
f”(z) = 2 nên theo công thức (1.13) có: = 2 = 2 .
2!
c) Khai triển Marlaurin một số hàm cơ bản
z
1. Hàm mũ f(z) = e :
(n)
z
(n)
0
Ta có, f (z) = e  f (0) = e = 1, n, thay thế vào (1.11) được:

z
f(z) = e =∑ ∞ ! , với mọi zℂ.
=0
2. Hàm lượng giác f(z) = sinz:
(n)
Ta có, f (z) = ( + ) ⇒ ( ) (0) = . Thế vào (1.11) được:
2 2

(−1)

( ) = ∑ ∞ 2 =∑ ∞ 2 +1 , với mọi z ℂ.
=0
! =0 (2 +1)!
3. Một số hàm khác thường gặp trong kỹ thuật như:
1 3 1.3 5 1.3.5 7
f(z) = arcsinz = + + + + ⋯, |z| < 1.
2 3 2.4 5 2.4.6 7
3 5 7
f(z) = arctanz = − + − + ⋯,|z| < 1.
3 5 7
2 +1

f(z) = shz = ∑ ∞ (2 +1)! , z ℂ.
=0
2

f(z) = chz =∑ ∞ (2 )! , z ℂ.
=0
n
f(z) = ln(1 + z) = ∑ ∞ (−1) −1 z , |z| < 1.
=0

m

f(z) = (1 + z) =1 + + ( −1) + ⋯ + ( −1)…( − +1) + ⋯, |z|<1.
2! !

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP
1. Biết cách tính tích phân hàm phức trên cung bất kỳ, biết cách tính tích phân phức
bằng cách tách phần thực, phần ảo.

2. Hiểu, biết cách vận dụng công thức Newton-Leibnitz, biết cách giải thích điều
kiện để tích phân phức không phụ thuộc vào dạng của đường đi.

3. Biết cách khai triển công thức Taylor, công thức Marlaurin, vận dụng được công
thức đạo hàm hàm phức để tính tích phân.

BÀI TẬP 1.3
1.3.1. Giả sử S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong . Chứng minh
rằng:

a. ∮ = b. ∮ = −

1.3.2. Tính tích phân ∫ | | theo các đường sau:

a. Bán kính véctơ của điểm z = 2 – i.
b. Nửa đường tròn |z| = 1 có 0 < arg(z) < .

Trang 14