Page 19 - TOAN CHUYEN DE

4
L
2
2
Ta có, x(t) = (t + 2) = t + 4t + 4 ( ) = 2 + 4 + .
3 2

Ví dụ 1.20. Tìm gốc có ảnh là ( ) = .
2
−3 +2
L
t
2t
Ta có, ( ) = 2 − 1 ⎯ ⎯ x(t) = 2e – e .
−2 −1
1.4.6. Ứng dụng toán tử Laplace giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
Xét phương trình vi phân cấp 2 có hệ số hằng dạng
x’’(t) + a 1x’(t) + a 2x(t) = f(t), (*) trong đó a 1, a 2 là 2 hằng số.
Ta cần tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (*) thỏa mãn các điều kiện đầu
sau đây x(0) = x 0 và x’(0) = x’ 0.
Giả thiết nghiệm cần tìm y(t) cùng các đạo hàm của nó và hàm f(t) đều là các
L
L
L
hàm gốc. Giả sử x(t) ⎯⎯ → X(s), f(t) ⎯⎯ → F(s) ta được x’(t) ⎯⎯ → sX(s) – x 0 và
L
x’’(t) ⎯⎯→ s X(s) – sx 0 – x’ 0. Khi đó, phương trình ảnh của phương trình (*):
2
2
s X(s) – sx 0 – x’ 0 + a 1(sX(s) – x 0) + a 2X(s) = F(s)
2
 (s + a 1 s + a 2)X(s) = F(s) + (s + a 1)y 0 + y’ 0.
0
1
 ( ) = ( )+( + ) + ′ 0 , (**)
2
+ + 2
1
Hàm X(s) xác định bởi công thức (**) được gọi là nghiệm toán tử của phương
trình vi phân (*) và hiển nhiên hàm gốc tương ứng với nó là nghiệm của phương
trình vi phân mà ta cần tìm.
Ví dụ 1.21. Giải phương trình x’’ – x = cos3t + 1, thỏa mãn x 0 = x’ 0 = 0.

Giải:
L
1
Ta có, cos3t + 1 + .
2
+9
L
L
2
Giả sử nghiệm cần tìm là x = x(t) ⎯⎯ → X(s)  x’’ s X(s). Khi đó, ta
có phương trình ảnh tương ứng với phương trình đã cho có dạng:
1
2
( ) − ( ) = +
2
+9
1
2
 (s – 1)X(s) = +
2
+9
 X(s) = + 1 .
2
2
2
( +9)( −1) ( −1)
1
11
1
L
 ( ) = 11 − 1 − ⎯ ⎯ x(t) = cht - .cos3t – 1.
2
2
10 −1 10 +9 10 10
11
1
Vậy, nghiệm cần tìm là x = .cht - .cos3t – 1.
10 10
Nhận xét:
Rõ ràng việc vận dụng phép tính toán tử Laplace vào giải các bài toán về phương
trình vi phân hệ số hằng trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Bởi ta đã chuyển từ việc giải
phương trình vi phân cấp cao về việc giải phương trình đại số bậc nhất đối với hàm chưa
biết cần phải tìm là X(s).

Trang 19