Page 16 - TOAN CHUYEN DE

Với mỗi gốc x(t), ta đặt tương ứng với một hàm phức X(s) xác định bởi hệ
thức sau:
+∞

( ) = ∫ ( ) − , (1.14)
0
với Re(s)> .
0
Hàm phức X(s) xác định bởi công thức (1.14) được gọi là ảnh của hàm gốc
x(t) đã cho.
Giả sử gọi K là tập hợp các hàm gốc x(t), N là tập hợp các hàm ảnh X(s). Khi
đó, hệ thức (1.14) xác định một ánh xạ từ K vào N, ánh xạ này được gọi là ánh xạ
L
Laplace hay toán tử Laplace, ký hiệu là: L{x(t)} = X(s) hay x(t) X(s).
b) Các định lý tồn tại và duy nhất

Định lý 1.7. (Định lý về sự tồn tại hàm ảnh)
Với mọi hàm gốc x(t) luôn tồn tại hàm ảnh X(s) xác định trên nửa mặt phẳng

có Re(s)> .
0
Ngoài ra, trên nửa mặt phẳng này hàm X(s) có đạo hàm mọi cấp và thỏa
mãn lim ( ) = 0.
( )→∞
Định lý 1.8. (Định lý về sự duy nhất gốc)

Nếu hàm X(s) là ảnh của hai gốc x 1(t) và x 2(t) thì hai gốc đó trùng nhau tại
mọi điểm mà nó liên tục.
c) Tính chất tuyến tính

L{a.x 1(t) + b.x 2(t)} = a.L{x 1(t)} + b.L{x 2(t)}
= a.X 1(s) + b.X 2(s), với a, b là 2 hằng số.
Với a=1, b=-1, ta có: L{x 1(t) – x 2(t)} = L{x 1(t)} - L{x 2(t)} = X 1(s) – X 2(s).

1.4.2. Một số hàm gốc cơ bản và ảnh của nó

a) Hàm đơn vị

0 ế < 0 L 1
( ) = { , có ảnh ( ) , với Re(s)>0.
0
0
1 ế ≥ 0
Quy ước:
Do các hàm gốc đều nhận giá trị 0 với t < 0, nên ta quy ước chỉ viết giá trị của
L
1
hàm gốc ứng với t > 0. Như vậy, hàm đơn vị và ảnh của nó được viết là 1 .

Ví dụ 1.10.
L
2
L
1

2 2. = ; k , với k là hằng số.

b) Hàm mũ
L
x(t) = , có ảnh : 1 , với Re(s - ) > 0.

−
L
Suy ra, x(t) = − 1 , , với Re(s + ) > 0.
+

Trang 16