Page 13 - TOAN CHUYEN DE

∮ ( ) = ∑ ∮ ( ) . (1.8)

0 =1

Trong đó, tích phân lấy trên các đường cong kín  i (i = 1, 2, ..., n) theo hướng
dương.

1.3.4. Khai triển Taylor hàm phức

a) Công thức tích phân Cauchy
Định lý 1.7. Cho hàm f(z) giải tích trong miền D, G là miền giới hạn bởi đường
cong kín  (tức  = G) nằm hoàn toàn trong D, aG. Khi đó, ta có
1 ( )
( ) = ∮ , (1.9)
2 −

công thức (1.9) được gọi là công thức tích phân Cauchy.

b) Khai triển Taylor hàm phức
Định lý 1.8. Cho hàm f(z) giải tích trong miền D, z 0D. Khi đó  > 0 sao cho
∞
( ) ( )
0

( ) = ∑ ( − ) (1.10)
0
!
=0
với mọi z sao cho |z – z 0| < .
Khai triển (1.10) đạt được trong hình tròn mở bán kính lớn nhất, tâm z 0 nằm
trong D.
Chuỗi lũy thừa ở vế phải của (1.10) gọi là chuỗi Taylor của hàm f(z) trong lân
cận của điểm z 0.
Nếu z 0 = 0D thì ta có khai triển Marlaurin sau:
∞
( ) (0) (1.11)

( ) = ∑ .
!
=0
Mệnh đề 1.3. Cho hàm f(z) giải tích trong miền D, z 0D. Khi đó, hàm f(z) có
đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm z 0 và

! ( )
( ) ( ) = ∮ , (1.12)
0
2 ( − ) +1
0
trong đó,  là đường cong kín chứa điểm z 0 nằm trong D.
Công thức (1.12) là công thức tính đạo hàm cấp cao của hàm phức.
Ứng dụng công thức (1.12) vào tính tích phân

Từ công thức (1.12) ta suy ra
( ) ( ) ( )
0
∮ +1 = 2 . (1.13)
0
( − ) !
2
Ví dụ 1.9. Tính = ∮ , với  là đường tròn |z|=2.
( −1) 3

Trang 13