Page 3 - Giáo trình Giải tích

Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1.1. Khái niệm cơ bản

1.1.1. Định nghĩa hàm 2 biến, hàm nhiều biến, tập xác định, tập giá trị, đồ thị
Trong giải tích 1chúng ta đã nghiên cứu các vấn đề của hàm số một biến, tuy
nhiên trong thực tế chúng ta thường phải xét các hàm phụ thuộc nhiều biến độc lập.
Ví dụ ta gọi nhiệt độ đo được tại điểm (x,y,z) trong một căn phòng là f, rõ ràng nhiệt
độ f phụ thuộc vào x, y, z và ta viết f=f(x,y,z); tuy nhiên các thời điểm khác nhau
nhiệt độ tại cùng một điểm cũng khác nhau, vậy f cũng phụ thuộc vào thời gian t,
nên f=f(x,y,z,t)… và cứ như vậy f có thể phụ thuộc nhiều biến khác nhau.

Chương này chúng ta tìm hiểu các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến.

Định nghĩa 1.1.
n
Cho X là tập con của ℝ , ánh xạ
: → ℝ, ( , , … , ) ↦ ( , , … , )
2
2
1

1

được gọi là hàm n biến xác định trên X.
Như vậy một hàm n biến xác định trên X là một phép tương ứng: cho ứng mỗi
bộ số thực ( , , … , )X với một số thực xác định mà ta ký hiệu là

2
1
( , , … , ).
1
2

3
Ví dụ 1.1: : ℝ → ℝ, ( , , ) ⟼ 1 + + + , rõ ràng với hàm f xác định
như trên, ta có f(1,2,3)=1+1+2+3=7. Để đơn giản ta thường viết cho hàm
f(x,y,z)=1+x+y+z.
2
Khi n=2, ta có hàm hai biến với X là tập con của ℝ và
: → ℝ, ( , ) ↦ ( , )
là hàm 2 biến xác định trên X.
Các khái niệm sau đây ta xét trên hàm hai biến, với các hàm số biến lớn hơn
2 được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Tập xác định: Là tập con của ℝ làm cho hàm số có nghĩa.
2
Tập giá trị: T= {z∈ ℝ| ∃ (x,y)∈ ℝ : f(x,y)=z}.
2
Ví dụ 1.2:
2
: ℝ → ℝ, ( , ) ↦ ( , ) = +
2
2
Tập xác định X= ℝ , tập giá trị T= ℝ vì mọi z∈ ℝ đều tồn tại (x,y) ∈ ℝ sao
cho z=x+y.
Ví dụ 1.3:
2
: ℝ → ℝ, ( , ) ↦ ( , ) = √ + √ .
2
Tập xác định X={(x,y)∈ ℝ |x≥0, y≥0}, vậy X chính là góc phần tư thứ nhất
+
+
trong mặt phẳng Oxy; tập giá trị T= ℝ vì mọi z∈ ℝ đều tồn tại (x,y)∈X sao cho
z=x+y.

Ví dụ 1.4:
: ℝ → ℝ, ( , ) ↦ ( , ) = √1 − −
2
2
2
2