Page 8 - Giáo trình Giải tích

2
2
(Cả hai tập M, N đều có biên là đường tròn + = 1).
Bài tập:
Vẽ hình và phân tích các tập trong ví dụ 1.9.

1.2. Giới hạn và liên tục

1.2.1. Giới hạn hàm số
- Giới hạn của hàm 2 biến z = f(x,y)
Định nghĩa 1.2: Dãy điểm {M n(x n,y n)} dần tới điểm M o(x o,y o) nếu

lim x = x ; lim y = y
n→  n o n→  n o
Định nghĩa 1.3: Cho hàm z =f(x,y) xác định trong 1 lân cận V nào đó của
M o(x 0,y 0) (không nhất thiết xác định tại M o). Khi đó hàm số f có giới hạn L khi điểm
M(x,y) dần tới M o nếu với mọi dãy điểm {M n} trong V (≠ M o) dần tới M o ta đều có
lim ( ) = (1.1)
→∞
ta có thể viết
lim ( , ) = (1.2)
( , )→( , )

0
Chú ý:
i) Ta có thể phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm 2 biến như sau:
Hàm f(x,y) = f(M) có giới hạn L khi M → M o nếu  >0,  >0:
0< d(M 0M)<   |f(M) –L| < .
Có thể viết lại
lim f(x, y) = L.
(x, y)→ (x 0 y , 0 )
ii) Tương tự như hàm một biến, ta cũng có thể định nghĩa các giới hạn
lim f(x, y) = L lim f(x, y) =  lim f(x, y) = 
(x, y)→ ( , ) (x, y) →( , ) (x, y) →(x o , y o )
Ví dụ 1.10:
lim (x 2 - 2y) = -1 lim 1 = 0 lim 1 = 
2
(x, y)→ (1,1) (x, y)→ ( , ) x + 2y 2 (x, y) →(0,0) x 2 + 2y 2
1.2.2. Hàm số liên tục, liên tục trên tập đóng bị chặn, định lý Weierstrass
1
Định nghĩa 1.4. Hàm số z =f(x,y) =f(M) xác định trên D được gọi là liên tục
tại M o(x o,y o)  D nếu ∃ lim ( , ) = ( , ).
0
0
( , )→( , )
0
0
Chú ý:
i) x:= x –x o; y:= y –y o;
z:= f(x,y) –f(x o,y o) = f(x o+ x,y o+ y) –f(x o,y o) 
Hàm z =f(x,y) được gọi là liên tục tại M o(x o,y o) nếu nó xác định tại M và

1 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Weierstraõ) (31.10.1815 – 19.2.1897) là một nhà toán học người Đức, người
được coi là "cha đẻ” của giải tích toán học. Weierstrass sinh ra tại Ostenfelde, nằm trong Ennigerloh thuộc bang
Nordrhein-Westfalen. Định nghĩa giới hạn theo (ϵ,ọ) do Weierstrass đưa ra.

7