Page 11 - Giáo trình Giải tích

= ∆ = = ′ .

Ví dụ 1.14: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số:
2
x
2
a) z = e sin(x + y )
4
4
b) z = x + y
5
2
c) u = x -3e y +ze z
x
Giải:
x
x
2
2
2
2
x
2
2
a) = e sin(x + y ) + 2xe cos(x + y ), =2ye cos(x + y )

2
2
Các đạo hàm riêng liên tục tại (x,y)  ℝ , nên z khả vi trên ℝ .
2
2
2
x
x
2
2
x
2
 dz = [e sin(x + y ) + 2xe cos(x + y ]dx + 2ye cos(x + y )dy.
b) = 4 3
4
5√( + )
4 4
z  = 4x 3 , z  = 4y 3
 x 5 5 (x + y 4 ) 4 y  5 5 (x + y 4 ) 4
4
4
Các đạo hàm riêng liên tục tại (x,y)  (0,0), vậy tại những điểm ấy
4x 3 4y 3
dz = dx+ d.
4
4
5 5 (x + y 4 ) 4 5 5 (x + y 4 ) 4
Tại điểm (0,0) hàm z không khả vi vì các đạo hàm riêng của nó không tồn
tại, thật vậy:
z f(0 + Δx,0) − f(0,0) 5 ( x) 4
= lim = lim = 
x Δx →0 Δx Δx →0 Δx
z 
Ta có = .
y 
 u  u  u
x
c) = 2x – 3e y, = -3e , = e + ze .
z
x
z
 x  y z 
Các đạo hàm riêng liên tục tại (x,y,z)  ℝ , nên u khả vi trên ℝ và
3
3
z
du = (2x – 3e y)dx - 3e dy +( e + ze )dz.
x
x
z
Ví dụ 1.15: Cho z = x + y , tính d xz tại x =2, y = 5, x = 0,01.
2
3
Giải:
z  = 1  z  (2,5) =
1
 x 3 (x + y 2 ) 2  x 9
Vậy, z = z  Δx = 1 , 0 . 01= , 0 01
d
x x  9 9
1.3.4. Tính gần đúng
Khi x, y khá bé ta có thể xem z ≈ dz. Do đó:
f(x o+ x,y o+ y) = f(x o,y o) + z
f(x o+ x,y o+ y) ≈ f(x o,y o) + dz.
Vậy ta có:
10