Page 14 - Giáo trình Giải tích

Ví dụ 1.17:

2
a) Cho = + √ , y = sinx. Tìm .

b) Cho z = e cosv, u = x +y, v = xy. Tìm , .
u

Giải:
z  z  1 dy
a) Ta có = 2x, = , = cosx
 x y  2 y dx

dz z  z  dy cosx cosx
+
=
2x +
=
=
2x +
.
Vậy .
x 
y 
dx dx 2 y 2 sinx
z  z  u  u  v  v 
b) Ta có = e u cosv , = − e u sinv , = 1, = 1, = y, = x
u  v  x  y  x  y 
z u u z x +y x +y
 = e cosv.1 − ye sinv  = e cosxy − ye sinxy
x
x
 z   z
 = e u cosv.1 − xe u sinv  = e x +y cosxy − xe x +y sinxy
y y


1.5. Đạo hàm của hàm ẩn
1.5.1. Định nghĩa hàm ẩn, định lý hàm ẩn
Định nghĩa 1.8. Cho hệ thức giữa 2 biến x, y có dạng F(x,y)=0. Nếu với mỗi trị
x=x o trong một khoảng nào đó, có 1 hay nhiều trị xác định y =y o sao cho F(x o,y o)=0
thì ta nói F(x,y)=0 xác định 1 hay nhiều hàm ẩn y theo x trong khoảng ấy.
Tương tự hệ thức giữa 3 biến x, y, z dạng F(x,y,z)=0 có thể xác định 1 hay
nhiều hàm ẩn z của 2 biến x, y.
F(x, y, z, u, v) = 0
Hệ phương trình

 G(x, y, z, u, v) = 0
có thể xác định 1 hay nhiều cặp hàm ẩn u, v của 3 biến x, y, z.

Ví dụ 1.18:
3
a) Hệ thức x + y - 3 =0 xác định 1 hàm ẩn y = 3 − x (dạng tường minh)
3
3
3
trên ℝ.
3
2
b) Hệ thức 2 + 2 = 1, xác định 2 hàm ẩn = ± √4 − (dạng tường
4 9 2
minh) trên [-2,2].
2
c) Hệ thức x + y +1 = 0 không xác định hàm ẩn nào.
2
d) Hệ thức x – y = 0 (x > 0, y > 0) không rút được y theo x (không tìm được
x
y
biểu thức của hàm ẩn dưới dạng tường minh).
Định lý 1.4. Cho hàm F(x,y) và M 0(x 0,y 0) thỏa mãn F(x o,y o) = 0. Nếu F(x,y) có
các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm M o(x o,y o) và nếu F’ y(M o) ≠ 0 thì phương

13