Page 18 - Giáo trình Giải tích

i) Đạo hàm theo hướng không những phụ thuộc vào điểm M o mà còn phụ
thuộc vào hướng lấy đạo hàm.

ii) , chính là đạo hàm của hàm f theo hướng Ox, Oy.

Như ta đã biết đạo hàm biểu thị biến thiên vận tốc của hàm đối với biến, vì
⃗
vậy đạo hàm theo hướng biểu thị vận tốc biến thiên của hàm f theo hướng .
Định lý 1.7. Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại M(x,y) thì tại điểm đó nó có đạo hàm
⃗
theo hướng bất kỳ, và

= +
⃗
⃗
trong đó cos, cosõ là các cosin chỉ hướng của .
Ví dụ 1.23.

⃗
Cho hàm f(x,y)=x+x y và véc tơ = (1,2). Tính tại điểm M(2,3).
2
⃗
Giải:
⃗
Véc tơ có các cosin chỉ hướng = 1 , = 2 ,
√5 √5
1 2 13 8 21
= + = ((1 + 2 ) + 2 )| = + = .
⃗ √5 √5 (2,3) √5 √5 √5

Véc tơ gradient
2
Định nghĩa 1.7. Giả sử U là một tập mở trên ℝ , hàm f(x,y) xác định và có đạo
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
hàm riêng liên tục (thuộc lớp C ) trên U. Gradient của f, ký hiệu là , là ánh xạ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
: → ℝ

( , ) ↦ ( ( , ), ( , ))

1.8. Cực trị hàm nhiều biến

1.8.1. Khái niệm cực trị, ví dụ, điều kiện cần
Định nghĩa 1.9. Cho hàm z=f(x,y). Điểm P 0(x 0,y 0) được gọi là điểm cực đại
(địa phương) của hàm f(x,y) khi tồn tại ọ>0 sao cho f(x,y)≤f(x 0,y 0) với mọi
(x,y)∈B(P 0,ọ). (B(P 0,ọ) là quả cầu tâm P 0, bán kính ọ).
Trường hợp ta có f(x,y) < f(x 0,y 0) với mọi (x,y) ∈ B(P 0,ọ) ta nói P 0 là điểm cực
đại (địa phương) chặt của hàm f(x,y).
Khái niệm cực tiểu địa phương định nghĩa hoàn toàn tương tự. Cực đại địa
phương và cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương.
Định lý 1.8. (Fermat) (Điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị địa phương tại (x 0,y 0) và có các đạo hàm riêng tại
đó thì f’ x(x 0,y 0)=f’ y(x 0,y 0)=0.
Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f đều bằng 0 được gọi là điểm dừng
của hàm.

17