Page 20 - Giáo trình Giải tích

B = z xy"(1, 2) = 12 =>  = B - 4AC >0
2
C = z yy"(1, 2) = 6
Hàm số không đạt cực trị tại M 1(1, 2).
Tại M 2(2,1):
A = z xx"(2, 1) = 12
2
B = z xy"(2, 1) = 6 =>  = B - 4AC <0
C = z yy"(2, 1) = 12, A > 0
Hàm số đạt cực tiểu tại M 2(2, 1), với z min = z(2, 1) = -28
Tại M 3(-1, -2):
A = z xx"(-1, -2) = -6
2
B = z xy"(-1, -2) = -12 =>  = B -4AC >0
C = z yy"(-1, -2) = -6

Hàm số không đạt cực trị tại M 3(-1, -2).
Tại M 4(-2, -1):
A=z’’ xx(-2,-1)=-12
B=z’’ xy(-2,-1)=-6
C=z’’ yy(-2,-1)=-12
2
 =B -4AC<0, A<0
Hàm số đạt cực đại tại M 4(-2, -1) và z max=28.

2
2
4
Ví dụ 1.25: Khảo sát cực trị của hàm z=x + y -x -2xy-y .
4
Giải:
3
Ta có z’ x=4x -2x-2y, z’ y=4y -2x-2y.
3
Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng
3
4x − 2x − 2y = 0
{
3
4y − 2x − 2y = 0
Hệ phương trình có 3 nghiệm, vậy có 3 điểm dừng: P 1(0, 0); P 2(-1, -1); P 3(1,1).
Tính các đạo hàm cấp 2:
z’’ xx=12x -2
2
z’’ xy=-2
2
z’’ yy=12y -2
Tại P 1(0,0), A=z’’ xx(0,0)=-2; B=z’’ xy(0,0)=-2; C=z’’ yy(0,0)=-2,
2
suy ra  =B -4AC=0.
Ta chưa có kết luận về cực trị tại P 1 mà phải khảo sát trực tiếp. Ta có z(0,0)=0,
1 1 1 2 1 1
với = = thì ( , ) = ( − 2) < 0 ( nguyên dương), với = , =
2 2
1 1 1 2
− thì ( , − ) = >= 0. Điều này cho thấy rằng trong mọi lân cận của P 1 hàm
4
số đều có giá trị dương và có giá trị âm. Vậy P 1(0, 0) không phải là điểm cực trị.
Tại P 2(-1, -1) và P 3(1, 1) ta có A=10, B=-2, C = 10,  =B -4AC = -96. Suy ra
2
tại P 2 và P 3 hàm số đạt cực tiểu chặt với:

z min = z(P 2) = z(P 3) = -2.

19