Page 21 - Giáo trình Giải tích

1.8.3. Cực trị có điều kiện

a) Khái niệm cực trị có điều kiện
Định nghĩa 1.8. Xét hàm số z=f(x,y), với điều kiện ràng buộc ử(x, y) = 0 (*)
Ta nói:
- f(x,y) đạt cực đại chặt tại (x 0, y 0) với điều kiện (*) nếu (x 0,y 0) thỏa (*) và với
mọi (x,y) thỏa (*) khá gần (x 0,y 0) ta có f(x, y) < f(x 0, y 0).
- f(x,y) đạt cực tiểu chặt tại (x 0, y 0) với điều kiện (*) nếu (x 0,y 0) thỏa (*) và với
mọi (x,y) thỏa (*) khá gần (x 0,y 0) ta có f(x,y) > f(x 0,y 0).
- f(x,y) đạt cực trị chặt tại (x 0,y 0) với điều kiện (*) nếu f(x,y) đạt cực đại hoặc
cực tiểu tại (x 0,y 0) với điều kiện (*).

b) Phương pháp nhân tử Lagarange (Điều kiện cần)
Định lý 1.10. (Điều kiện cần của cực trị có điều kiện)
Giả sử các hàm f(x,y) và φ(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục (thuộc lớp
C ) trong một lân cận của điểm (x 0,y 0) với φ(x 0,y 0)=0 φ’ x(x 0, y 0) ≠ 0 hay φ’ y(x 0,y 0)≠
1
0.
Khi đó, nếu f(x, y) đạt cực trị tại (x 0,y 0) với điều kiện φ(x 0,y 0)=0 thì tồn tại số
thực ở sao cho:
′
′
( , ) + ( , ) = 0
0
0
0
0
{ ′ ′ .
( , ) + ( , ) = 0
0 0 0 0
Hàm số L(x,y,ở)= f(x, y) + ởφ(x,y) được gọi là hàm Lagrange. Định lý sau đây
cho ta điều kiện đủ của cực trị có điều kiện.
c) Điều kiện đủ
Định lý 1.11. (Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện)
Giả sử f(x,y) và φ(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của
(x 0,y 0), với φ(x 0,y 0) = 0, và (x 0,y 0, ở) là điểm dừng của hàm Lagrange. Khi đó ta có:
Nếu
2
2
2
( , , ) = ′′ ( , , ) + 2 ′′ ( , , ) + ′′ ( , , )
0
0
0
0
0
0
0
0
xác định dương trong một miền theo dx, dy thỏa ràng buộc
2
′
′
2
( , ) = ( , ) + ( , ) = 0 và dx +dy ≠0, thì hàm f(x,y) đạt
0
0
0
0
0
0

cực tiểu chặt tại (x 0,y 0) với điều kiện φ(x 0,y 0)=0.
2
Nếu d L(x 0, y 0, ) xác định âm trong 1 miền theo dx, dy thỏa ràng buộc như
trên thì f(x,y) đạt cực đại chặt tại (x 0,y 0) với điều kiện φ(x 0,y 0)=0.
2
Nếu d L(x 0, y 0, ) không xác định dấu trong miền nói trên thì không có cực trị
có điều kiện tại (x 0, y 0).
Từ định lý trên ta có thể tìm cực trị có điều kiện theo phương pháp nhân tử
Lagrange như sau:
Bước 1: Lập hàm Lagrange L=f(x,y)+ (x,y)
Bước 2: Tính L’ x=f’ x(x,y)+  φ’ x(x,y) và giải hệ phương trình sau đây để tìm
các điểm dừng (x 0,y 0) cùng với giá trị  0 tương ứng
20