Page 22 - Giáo trình Giải tích

′ = 0

{ ′ = 0

( , ) = 0
Bước 3: Tính vi phân cấp 2 của L=L(x,y)
2
= = ′′ + 2 ′′ + ′′
2
2

và tính ràng buộc d φ = φ’ x(x,y)dx+ φ’ y(x,y)dy. (**)
2
Với mỗi điểm dừng (x 0,y 0) và ở= ở 0 tìm được trong bước 2, xét A=d L(x 0,y 0)
(phụ thuộc dx và dy).
- Nếu A>0 với mọi dx, dy không đồng thời bằng 0 thỏa ràng buộc (**) thì hàm
số đạt cực tiểu có điều kiện tại (x 0,y 0).
- Nếu A<0 với mọi dx, dy không đồng thời bằng 0 thỏa ràng buộc (**) thì hàm
số đạt cực đại có điều kiện tại (x 0,y 0).
Nếu dấu của A không xác định xét theo dx và dy không đồng thời bằng 0 thỏa
ràng buộc (**) thì hàm số không đạt cực trị tại (x 0,y 0).

2
2
VÝ dụ 1.26: T×m cực trị của hàm z =x + y với điều kiện x+y=4.
Giải:
2
2
Lập hàm Lagrange: L(x,y) = x + y +λ(x + y - 4).
Ta cã, L’ x(x,y) = 2x+λ, L’ y(x,y) = 2y+λ.
T×m điểm dừng bằng c¸ch giải hệ
2x + λ = 0
{ 2y + λ = 0
+ − 4 = 0

Ta cã một điểm dừng M(2,2) ứng với λ = -4. TÝnh c¸c đạo hàm riªng cấp 2
2
2
2
của L(x,y): L’ ’ xx=2, L’ ’ xy=0, L’ ’ yy=2. Suy ra A= d L = 2dx + 2dy .
Vậy A > 0 tại M(2,2) nªn hµm sè ®¹t cùc tiÓu (cã ®iÒu kiÖn) t¹i ®ã víi
zmin=z(2,2) = 8.
Lưu ý: Trong trường hợp từ hệ thức ử(x,y) = 0 ta có thể tính được 1 biến này
biến thiên theo biến kia chẳng hạn có thể tính y=(x) thì bằng cách thay thế y=(x)

vào z ta có thể xem z như hàm theo 1 biến x và z = z(x, (x)).
Khi đó có thể tìm cực trị của z như hàm theo 1 biến.
2
2
2
2
Xét lại ví dụ trên ta thấy x + y = 4  y = 4-x. Suy ra z = x + y = x +(4-x) .
Xem z là hàm 1 biến ta có z’=2x-2(4-x) = 4x-8, z’=0 x = 2.
Lập bảng biến thiên ta có
x -∞ 2 +∞
z’(x) - 0 +
z

8

Vậy z =x +y đạt cực tiểu (với điều kiện x+y=4) tại M(2,2) với z min = 8.
2
2

21