Page 27 - Giáo trình Giải tích

1.6. Tìm vi phân cấp 2 của hàm số
2
3
2
a) = − 4 + 5
b) = ln( + )
c) = √2 +
2
d) = + .

2
1.7. Cho f(t) là một hàm khả vi, z=f(x -y ). Chứng tỏ rằng hàm z thỏa mãn phương
2

trình sau: + =0.

1.8. Chứng minh rằng hàm số = x. ( ) (f khả vi liên tục đến cấp 2) thoả mãn

2
phương trình z” xx.z” yy=(z” xy) .
2
2 2
2

1.9. Chứng minh: + = 2 với = .
2 +
2
2
2)
1.10. Chứng minh + = 0 với = ln ( + .
2
2 2
1.11. Tìm cực trị hàm số
2
2
a) z=x +xy+y +x-y+1
3 2
b) z=x y (1-x-y)

1.12. Cho hàm số = . Chứng minh z’’ xx + z’’ yy= 0.

1.13. Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi.
Chứng minh rằng: xz’ x-yz’ y=x.
2
2
1.14. Cho hàm số z = y.f(x -y ), với f(t) là hàm số khả vi, chứng minh rằng
1 1
′ + ′ = .

2
1
2
1.15. Cho hàm số = ( ), với = √ + .
2

Chứng minh rằng: z’’ xx + z’’ yy=0.

⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1.16. Cho hàm số ( , , ) = √ + + . Tính tại A(1,1,√2), biết = .
2
2
2

⃗
1.17. Cho hàm số ( , ) = 2 ( + ) − √ − . Tính tại A(1,0), biết =

(1. −1).

1.18. Cho hàm ẩn z=z(x,y) có phương trình − = . Tính z’ x và z’ y.
−
3
2
1.19. Cho hàm ẩn x=x(y,z) có phương trình = 4 − + . Tính x’ y, x’ z.
1.20. Cho hàm ẩn x=x(y,z) có phương trình = ( + + 2 ).
2
2
Tính x’ y, x’ z và d x(y,z).
x
1.21. Tìm cực trị hàm số z=e (x+y)(x-y+4)
HD. Hàm số có 2 điểm tới hạn: M 1(-2,2) và M 2(-4,2), hàm số không đạt cực trị tại
M 1(-2,2), hàm số đạt cực đại tại M 2(-4,2) và z max=4e .
-4
2
2
1.22. Tìm cực trị hàm số z=x +y -3xy.
26