Page 24 - Giáo trình Giải tích

TÓM TẮT NỘI DUNG

- Giới hạn: lim ( ) hay lim ( , ), nếu  >0,  >0:
→ 0 ( , )→( , )
0
0
0< d(M 0M)<   |f(M) –L| < , với ( , ) = √( − ) + ( − ) .
2
2
0
0
0
- Sự liên tục của hàm số: Hàm số f(M) xác định trên miền D và M 0∈ D. Ta nói
rằng hàm số f(M) liên tục tại M 0 nếu lim ( ) =f(M 0).
→ 0
- Đạo hàm riêng: Đặt  xz:= f(x o+ x,y o) –f(x o,y o) (gọi là số gia riêng của f(x,y)

theo x tại (x 0,y 0)), ta có = lim ∆ , tương tự ta có định nghĩa các đạo hàm riêng
∆ →0 ∆
f’ y(x 0,y 0), ( , ), có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến
0 0
số: cộng, trừ, nhân, chia… sang phép tính đạo hàm riêng.
- Vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) tại (x 0,y 0) và công thức gần đúng:

f(x o+ x,y o+ y) ≈ f(x o,y o) + dz,
f(x o+ x,y o+ y) ≈ f(x o,y o) + f’ x(x o,y o)x + f’ y(x o,y o)y.

- Đạo hàm riêng cấp cao
Có 4 đạo hàm riêng cấp 2:

   f  =  2 f = " (x, y)    f  =  2 f = f " (x, y)




x
 x   x  x  2 f 2  y   x  x y xy
   f   2 f
"
  = = f yx (x, y)    f  =  2 f = " (x, y)




y
x   y   y x y   y   y  2 f 2


- Vi phân cấp cao
2
2
2
d z = z” xxdx + 2z” xy dxdy + z” yydy .
người ta dùng ký hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn như sau
2
2
( , ) = ( + ) ( , )

- Đạo hàm hàm hợp
Nếu f(u,v) khả vi và u,v có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại các đạo hàm

riêng , và
z = z u + z v
 u . x v . x
x

 z = z . u + z . v
y u y v y

- Đạo hàm theo hướng

| = + + .
⃗ 0
- Đạo hàm hàm ẩn
Giả sử F(x,y) =0 xác định 1 hàm ẩn y = f(x), ta có

23