Page 23 - Giáo trình Giải tích

1.8.4. Giá trị lớn nhất, bé nhất trong tập đóng, bị chặn
Ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên một miền
đóng và bị chặn D như sau:
′ = 0

Bước 1: Tính f’ x và f’ y. Giải hệ phương trình { để tìm các điểm dừng
′ = 0

ở phần trong của D.
Bước 2: Tìm các điểm tại đó không tồn tại đạo hàm riêng.
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của f(x,y) trên biên của D (liên quan đến cực trị
có điều kiện).
Bước 4: So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tìm được ở bước 1 và 2,
với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên để rút ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số.
2
2
Ví dụ 1.27. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = x +y -xy + x + y
trên miền D giới hạn bởi x≤ 0, y≤ 0, x + y≥ -3.
Giải:
Ta có z’ x=2x-y+1, z’ x=2y-x+1
Giải hệ
2x − y + 1 = 0
{
2y − x + 1 = 0
⇒ x = -1, y = -1.
Ta tìm được 1 điểm dừng M(-1,-1) ∈ D, với z(-1,-1) = -1.
Biên của miền D gồm 3 đoạn thẳng OA, OB và AB.
1
2
Trên biên OA ta có: x = 0, -3 < y < 0, z = y , z’=2y+1=0 ⇔ = − , suy ra
2
1
1
1
một điểm cực trị trên OA là (0, − ) với (0, − ) = − .
2 2 4
1
1
1
Tương tự, trên OB có cực trị tại (− , 0) với (− , 0) = − .
2 2 4
3
3
3
3
3
Trên AB có cực trị tại (− , − ) với (− , − ) = − .
2 2 2 2 4
Tại các điểm O, A, B ta có z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6.
Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên của D lần lượt là 6 và -3/4. So sánh
các giá trị z =-1, z=6 với z =-3/4 ta suy ra giá trị lớn nhất của z là 6 tại A(0,3) và
B(-3,0), giá trị nhỏ nhất của z là -1 tại M(-1, -1).

22