Page 19 - Giáo trình Giải tích

Chú ý rằng định lý trên chỉ cho ta điều kiện cần để có cực trị nên điểm dừng
3
3
chưa chắc là điểm cực trị. Ví dụ như hàm f(x,y)=x +y có (0,0) là điểm dừng nhưng
không phải là cực trị của hàm f. Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để có cực trị.
1.8.2. Điều kiện đủ cực trị
Định lý 1.9: (Điều kiện đủ)

Giả sử z = f(x,y) nhận (x 0, y 0) là một điểm dừng và f có các đạo hàm riêng cấp
2 liên tục trong một lân cận của (x 0, y 0).
2
Đặt A = f xx"(x 0,y 0), B = f xy"(x 0,y 0), C = f yy"(x 0,y 0), và  = B - A.C.
Khi đó ta có:
i) Nếu  > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x 0,y 0).
ii) Nếu  < 0 thì hàm số đạt cực trị chặt tại (x 0,y 0).
Hơn nữa ta có
(x 0,y 0) là điểm cực đại khi A< 0;
(x 0,y 0) là điểm cực tiểu khi A>0.
iii) Nếu  = 0 thì chưa kết luận được là hàm số f(x,y) có đạt cực trị tại (x 0,y 0)
hay không, trong trường hợp này ta phải xét đến đạo hàm cấp 2 mới xác định được
(x 0,y 0) có phải là cực trị hay không.
Từ định lý trên ta có thể tìm cực trị của hàm z=f(x,y) theo các bước sau đây:
Bước 1: Tính các đạo hàm riêng
Bước 2: Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình sau
′
( , ) = 0
{
′
( , ) = 0

Bước 3: Ứng với mỗi điểm dừng (x 0,y 0), đặt
2
A = f xx"(x 0,y 0), B = f xy"(x 0,y 0), C = f yy"(x 0,y 0), và  = B - A.C.
Xét dấu của  và A để kết luận.

Chú ý: Để có kết luận đầy đủ về cực trị ta còn phải xét riêng trường hợp điểm
dừng mà tại đó =0 và xét các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm riêng cấp 1 hay
cấp 2.
3
2
Ví dụ 1.24: Tìm cực trị của hàm số z =x + 3xy -15x -12y.
Giải:
Ta có:
z’ x=3x + 3y 15
2 -
2
z’ y=6xy-12
z’’ xx = 6x, z’’ xy = 6y, z’’ yy = 6x.
Để tìm điểm dừng ta giải hệ phương trình sau
2
2
3x + 3y − 15 = 0
{
6xy − 12 = 0
Hệ phương trình có 4 nghiệm cho ta 4 điểm dừng:
M 1(1, 2); M 2(2, 1); M 3(-1, -2); M 4(-2, -1).
Tại M 1(1, 2):
A = z xx"(1, 2) = 6

18