Page 17 - Giáo trình Giải tích

1.6.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm ẩn
Để tính đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn, từ phương trình F(x,y)=0 ta có
dF(x,y)=F’ x(x,y)dx+F’ y(x,y)dy=0 (*)
dy
⇔ ’ ( , ) + ’ ( , ) = 0 ⇔ ’ ( , ) + ’ ( , )y′ = 0, suy ra

dx
’ ( , )

′
= −
’ ( , )

tiếp tục lấy đạo hàm thì được F" xx + F" xy.y’ +(F” yx + F" yy. y’).y’+F’ y.y”=0, từ đây
sẽ rút ra y’’,
′′
= − F"xx + F"xy.y’ +(F”yx + F"yy.y’).y’ .
F’y
1.6.4. Công thức Taylor
Nhắc lại công thức Taylor cho hàm 1 biến.
Cho hàm số f(x) khả vi cấp n tại x 0 và lân cận x 0, khi đó tồn tại ố∈(0,1), sao cho
1 1
′
( ) = ( ) + ( )( − ) + ⋯ + ( ) ( )( − )
0
1! 0 0 ! 0 0
1
+ ( +1) ( + ( − ))( − ) +1
( + 1)! 0 0 0
Công thức Taylor của hàm hai biến:
f(x + ∆x, y + ∆y)
2
2
2
1 ∂f ∂f 1 ∂ f ∂ f ∂ f
2
2
= f(x, y) + ( ∆x + ∆y) + ( ∆x + 2 ∆x∆y + ∆y )
1! ∂x ∂y 2! ∂x 2 ∂x ∂y ∂y 2
n
n
n
1 0 ∂ f 1 ∂ f n ∂ f
n
n
+ ⋯ + (C ∆x + C ∆x n−1 ∆y + ⋯ + C ∆y )
n! n ∂x n n ∂x n−1 ∂y n ∂y n
+ ⋯ (1.6)
1.7. Đạo hàm theo hướng
Cho hàm f(x,y) xác định trên D. Lấy M o(x o,y o) ∈ D, qua M o xác định một đường
⃗
thẳng định hướng có các cosin chỉ hướng của nó là cos, cosõ. Lấy
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
M 1 ( + ∆ , + ∆ )∈ D sao cho cùng phương với . Đặt = là độ
0
0
1
0
0
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dài đại số của véc tơ , = √∆ + ∆ nếu hai véc tơ và cùng hướng
2
2
0
1
0
1
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
với nhau và = −√∆ + ∆ nếu hai véc tơ và ngược hướng với nhau.
2
2
1
0
Nếu giới hạn
∆ ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )
0
0
0
0
lim = lim
→0 →0
tồn tại (có thể bằng vô cùng) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm u theo
⃗
hướng tại M o.

Ký hiệu: |
⃗ 0
Chú ý:
16