Page 13 - Giáo trình Giải tích

z z u z v
 = u . x + v . x
x
 (1.4)
 z = z . u + z . v
y u y v y

Chú ý:
i) Công thức (1.4) có thể viết dưới dạng ma trận

z  u v  z 






 x  =  x x  .  u 
 z   u v   z 




y  y y  v 
với
 u   v
 x  x  
 u  v  

 y   y




2
được gọi là ma trận Jacobi của u,v đối với x,y.
Định thức của nó được gọi là định thức Jacobi của u,v đối với x,y, ký hiệu:
( , )

( , )
ii) z = f(x,y), y = ử(x) thì z là hàm hợp của x
dz z  z  dy
 dx = x  + y  . dx

iii) z =f(x,y), x =x(t), y =y(t) thì z là hàm hợp của t thông qua 2 biến trung gian
x,y
 dz = z  . dx + z  . dy
dt x  dt y  dt

1.4.2. Tính bất biến vi phân cấp một
Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có tính bất biến như vi phân của
hàm 1 biến, do đó
d(u ± v) = du ± dv
d(uv) = udv +vdu
 u  vdu − udv
d  = 2
 v  v
các công thức trên vẫn đúng khi u,v là những hàm số của các biến độc lập khác.

2 Carl Gustav Jacob Jacobi (10.2.1804 -18.2.1851) là một nhà toán học người Đức, người đã có những
đóng góp cơ bản cho chức năng elip, năng động, phương trình vi phân và lý thuyết số. Jacobi là nhà toán
học Do Thái đầu tiên được bổ nhiệm làm giáo sư tại một trường đại học của Đức.
12