Page 10 - Giáo trình Giải tích

a) z = x y + 5y .
2
2
4
b) u = x – xyz.
Giải:
2
a) z’ x = 2xy, z’ y = x + 10y.
3
b) u’ x = 4x – yz, u’ y = -xz, u’ z = -xy.
Chú ý:

là một ký hiệu chứ không phải là 1thương, ý nghĩa hoàn toàn khác với

phép chia dz cho dx.

Đạo hàm riêng biểu thị vận tốc biến thiên của z đối với x khi các biến khác

không đổi.

1.3.2. Khả vi và vi phân

Định nghĩa 1.6. Hàm số z=f(x,y) được gọi là khả vi tại M 0(x 0,y 0) nếu số gia toàn phần
∆ ( , ) = ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )
0
0
0
0
0
0
theo các số gia x, y của các biến x, y tại (x 0,y 0) được viết dưới dạng
∆ ( , ) = ∆ + ∆ + (∆ ) + (∆ )
0
0
trong đó A, B là các hằng số (không phụ thuộc x, y) và , õ là các VCB so với
x và y. Khi đó biểu thức Ax+ By được gọi là vi phân của hàm số f tại (x 0,y 0), ký
hiệu df(x 0,y 0), vậy ( , ) = ∆ + ∆ .
0
0
1.3.3. Điều kiện cần, điều kiện đủ khả vi
Định lý 1.2.
i) Nếu f(x,y) khả vi tại (x 0,y 0) thì f có các đạo hàm riêng cấp 1 tại đó và
( , ) = ( , )∆ + ′ ( , )∆ .
′

0
0
0
0
0
0

ii) Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng f’ x, f’ y liên tục tại (x 0,y 0) và lân cận (x 0,y 0)
thì f khả vi tại (x 0,y 0).
Chú ý:
i) Khi xét các trường hợp đặc biệt f(x,y)=x ta có dx=x và f(x,y)=y ta có dx=y,
do đó công thức vi phân cấp 1còn được viết dưới dạng = ′ + ′ và gọi

là công thức vi phân toàn phần của hàm f(x,y).
ii) Nếu hàm z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm thuộc D thì nó khả vi trên D.
iii) dz là phần chính của z.
iv) Nếu hàm z=f(x,y) khả vi tại M o thì nó liên tục tại điểm ấy.

Ví dụ 1.13: Tìm vi phân toàn phần hàm z=f(x,y)= x y .
2 3
Giải:
2 2
3
2 2
3
f’ x=2xy , f’ y=3x y , = 2 + 3 .
Vi phân riêng của hàm z =f(x,y) đối với biến x tại M o(x 0,y 0) là phần chính của
 xz tỷ lệ với x, ký hiệu: d xz

= ∆ = = ′ .

Tương tự ta định nghĩa vi phân riêng của hàm z=f(x,y) đối với biến y tại
M o(x 0,y 0), ký hiệu: d yz và
9