Page 12 - Giáo trình Giải tích

f(x o+ x,y o+ y) ≈ f(x o,y o) + f’ x(x o,y o)x + f’ y(x o,y o)y (1.3)
Công thức (1.3) được gọi là công thức gần đúng.
Ví dụ 1.16:
3
2
2
a) Tính gần đúng trị của √(1,04) + (,05) .
b) Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 10cm, bán kính đáy r=2cm.
Lúc nóng lên chiều cao và bán kính đáy nở thêm những đoạn h = r = 0,01cm.
Tính gần đúng thể tích của hình trụ sau khi nở.

Giải:
3
2
2
a) Xét hàm số ( , ) = √ +
2
2
3
f(x o+ x,y o+ y) = 1 ( , 04 ) + , 0 ( 05 )
Chọn x o = 1, y o = 0, x = 0,04, y = 0,05
f(x o,y o) = 1
2x 2
f’ x=  f’ x(x o,y o) =
2
3 3 (x + y 2 ) 2 3
2y
f’ y=  f’ y(x o,y o) = 0
2
3 3 (x + y 2 ) 2
Vậy, f(x o+ x,y o+ y) ≈ f(x o,y o) + f’ x(x o,y o)x + f’ y(x o,y o)y

2 , 3 008
= 1 + .0,04 + 0.0,05 =
3 3
b)
2
2
V(r,h) = r h  V’ r(r,h) = 2rh, V’ h(r,h) = r .
V’ r(r o,h o) =2..2.10 = 40, V’ h(r o,h o) = .2 = 4.
2
2
Thể tích của hình trụ trước khi nóng lên: V(r o,h o) =.2 .10 = 40.
Thể tích của hình trụ sau khi sau khi nở

V(r o+r,h o+h)  V(r o,h o) + V’ r(r o,h o)r + V’ h(r o,h o)h
3
= 40 + 40.0,01 +4.0,01 = 40,44 (cm ).
1.4. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

1.4.1. Đạo hàm riêng của hàm hợp

Định nghĩa 1.7: Cho hàm số z = f(u,v), trong đó u và v là hàm của 2 biến độc
lập x, y (u =u(x,y), v =v(x,y)). Khi ấy ta nói z là hàm hợp của x, y thông qua 2 biến
trung gian u,v: z = f[u(x,y),v(x,y)].
Định lý 1.3. Nếu f(u,v) khả vi và u,v có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại

các đạo hàm riêng , và

11