Page 15 - Giáo trình Giải tích

trình F(x,y)=0 xác định 1 hàm ẩn y = f(x) trong 1 lân cận nào đó của x o, hàm ấy có
1
trị y o khi x =x o, nó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận x o (thuộc lớp C ).
Định lý 1.5. Cho hàm F(x,y,z) và M 0(x 0,y 0,z 0) thỏa mãn F(x 0,y 0, z 0) = 0. Nếu
F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm M 0(x 0,y 0,z 0) và nếu F’ z(M o)≠0
thì phương trình F(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z = f(x,y) trong một lân cận nào đó
của (x o,y o), hàm ấy có trị z o khi x =x o, y =y o. Nó liên tục và có các đạo hàm riêng liên
tục trong lân cận của (x o,y o).

1.5.2. Cách tính đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn
Giả sử các giả thiết của định lý 1.4 thỏa mãn, khi đó F(x,y)=0 xác định 1 hàm
ẩn y = f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong 1 lân cận nào đó của x o. Ta có
′

F(x,f(x)) = 0, vi phân toàn phần ′ + ′ = 0, vậy = − .

′

3
3
Ví dụ 1.19: Cho F(x,y) = x + y - 5 = 0 xác định y là hàm ẩn của x. Tìm .

Giải:
3
3
3
Ta có y =5-x , suy ra = √5 − . (Từ hàm này ta có thể tính trực tiếp đạo
3
hàm của y theo x, tuy nhiên sử dụng công thức đạo hàm hàm ẩn dễ hơn nhiều).
Với F’ x = 3x , F’ y = 3y , nên
2
2
dy F ' 3x 2 x 2
= − x ' = − 2 = − 2 (y  0).
dx F y 3y y
Giả sử các giả thiết của định lý (1.5) thỏa mãn, khi đó F(x,y,z) =0 xác định 1
hàm ẩn z = f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong 1miền nào đó.
Ta có F(x,y,f(x,y)) = 0, lấy đạo hàm 2 vế đối với biến x: F’ x + F’ z. z’ x= 0, lấy
đạo hàm 2 vế đối với biến y: F’ y + F’ z. z’ y= 0.
′ ′
Vậy, ′ = − , ′ = − .

′ ′
Ví dụ 1.20:
3
z
Cho F(x,y,z) = e + xy +z - 2012 = 0 xác định z là hàm ẩn của x,y.
Tìm z’ x, z’ y?
Giải:
z
2
Ta có: F’ x = y, F’ y = x, F’ z = e +3z (F’ z ≠ 0 z).
F' y F' y x
Vậy, z’ x −= x = − , z’ y = − = − .
z
z
F' z e + 3z 2 F' z e + 3z 2
1.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao

1.6.1. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số z =f(x,y), z’ x, z’ y hay f’ x, f’ y được gọi là các đạo hàm riêng cấp 1.
Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1(nếu tồn tại) được gọi là các
đạo hàm riêng cấp 2.
Có 4 đạo hàm riêng cấp 2:

14