Page 16 - Giáo trình Giải tích

   f   2 f    f   2 f
"
"




 x   x  = x  2 = f 2 (x, y)  y   x  = x y = f xy (x, y)
x

   f  =  2 f = "    f   2 f "




x   y   y x f yx (x, y) y   y   = y  2 = f 2 (x, y)
y





f ” xx(x,y), f ” yy(x,y) được gọi là các đạo hàm vuông; f ” xy(x,y), f ” yx(x,y) được
gọi là các đạo hàm hình chữ nhật.
- Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 2 (nếu tồn tại) được gọi là các
đạo hàm riêng cấp 3.
- Định nghĩa tương tự ta có đạo hàm riêng cấp n.
Các đạo hàm riêng từ cấp 2 trở lên được gọi là các đạo hàm riêng cấp cao.
5
3 2
Ví dụ 1.21: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số z = x y – y , cho nhận
xét về kết quả nhận được?
Giải:
2 2
z’ x = 3x y , z’ y = 2x y – 5y ;
4
3
3
3
2
2
2
z” xx= 6xy , z” xy = 6x y, z” yx = 6x y, z” yy= 2x – 20x .
.
Nhận xét: z” xy = z” yx
Có phải một hàm bất kỳ ta đều có z” xy = z” yx? Điều này chưa chắc xảy ra,
định lý (1.6) sẽ chỉ ra lớp các hàm có tính chất trên.
1.6.2. Vi phân cấp cao
Cho hàm số z =f(x,y), giả sử tồn tại vi phân toàn phần dz = z’ xdx + z’ ydy. Vi
phân toàn phần của dz (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của z, ký
2
hiệu d z.
Nếu x, y là những biến độc lập thì
2
2
2
d z = z” xxdx + 2z” xy dxdy + z” yydy ,
người ta dùng ký hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn như sau
2
2
( , ) = ( + ) ( , ) (1.5)

2
Vi phân toàn phần của d z (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 3 của z,
3
ký hiệu d z…
Các vi phân toàn phần từ cấp 2 trở lên được gọi là vi phân toàn phần cấp cao.
Ví dụ 1.22: Cho hàm số z = e y . Tính d z?
2
x 2
Giải:
x
x 2
x
x
x 2
z’ x = e y , z’ y = 2e y, z” xx= e y , z” xy = z” yx=2e y, z” yy = 2e .
Vậy, dz = e y dx + 2e ydy, d z = e y dx + 2e ydxdy + 2e dy .
2
x 2
x
x
2
x 2
x
2
Tính đối xứng đạo hàm riêng cấp cao (định lý Schwartz)
Định lý 1.6. (Schwarz) Nếu trong 1 lân cận nào đó của điểm M o(x o,y o) hàm số
z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 f” xy, f” yx và các đạo hàm riêng cấp 2 ấy liên tục
tại M o thì f” xy = f” yx tại M o.
15