Page 9 - Giáo trình Giải tích

lim ∆ = 0.
(∆ ,∆ )→(0,0)
ii) Hàm z = f(x,y) được gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc D.

iii) Hàm z = f(x,y) được gọi là gián đoạn tại M o nếu không liên tục tại Mo.
Ví dụ 1.11:

Xét tính liên tục của hàm số
 (x 2 + y 2 )sin 1 khi (x, y)  (0,0)

f(x, y) =  x 2 + y 2
 a khi (x, y) = (0,0 )


2
Khi a =0 hàm f(x,y) liên tục trên ℝ , khi a ≠0 hàm f(x,y) liên tục trên ℝ \{(0,0)}.
2
Định lý 1.1. (Weierstrass)
Cho f(x,y) là một hàm số xác định trên miền đóng, bị chặn (compact) thì đạt
giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) trên miền đó.

1.3. Đạo hàm riêng và vi phân

Khi xét hàm y=f(x), đại lượng y chỉ phụ thuộc duy nhất vào x do đó y chỉ
phụ thuộc vào x. Tuy nhiên khi xét hàm hai biến z=f(x,y), rõ ràng z phụ thuộc vào
x và y, do đó z phụ thuộc vào x và y. Hàm f(x,y) khi ta xem x như một hằng số
thì f trở thành hàm một biến y, tương tự khi ta xem y như một hằng số thì f trở thành

hàm một biến x. Với hàm một biến thì ta có thể tính đạo hàm, vi phân…

1.3.1. Đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.5. Cho hàm z = f(x,y) xác định trên D và điểm M o(x o,y o)  D.
Cho y=y 0 cố định ta được f(x,y 0) như là hàm một biến x, nếu hàm số f(x,y 0) này có
đạo hàm tại x = x o thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của z đối với x tại

M o(x o,y o).

Ký hiệu: z’ x hay f’ x(x o,y o) hay hay ( , ).
0 0
Đặt  xz:= f(x o+ x,y o) –f(x o,y o) (gọi là số gia riêng của f(x,y) theo x tại (x 0,y 0)),

ta có = lim ∆ .
∆ →0 ∆
Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của z đối với y tại M o(x o,y o).

Ký hiệu: z’ y hay f’ y(x o,y o) hay hay ( , ).
0 0
 yz:= f(x o, y o +y) –f(x o,y o) thì
∆

= lim .
∆ →0 ∆
Nhận xét: Để tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến, khi tính đạo hàm theo một
biến nào đó, các biến còn lại ta xem như các hằng số và đạo hàm như hàm một biến.
Ví dụ 1.12: Tìm các đạo hàm riêng của hàm số sau:

8