Page 29 - Giáo trình Giải tích

Chương 2
PHÉP TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2.1. Tích phân bội 2
Như đã biết công thức tính thể tích của một hình trụ thẳng có diện tích đáy
S i và chiều cao f(M i) là V = fM i). S i.

Nhưng khi chúng ta xét bài toán tổng quát: Tìm thể tích của vật thể giới hạn
bởi mặt phẳng Oxy, một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và một mặt
cong có phương trình z = f(x,y) mà mọi đường thẳng song song với trục Oz cắt nó
tại không quá một điểm, thì cách tính trên không giải quyết được. Tích phân bội 2
là công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán này.

2.1.1. Định nghĩa, tính chất
Bài toán dẫn đến khái niệm
Xét vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, một mặt trụ có đường sinh
song song với trục Oz và một mặt cong có phương trình z = f(x,y) (f(x,y)  0, f(x,y)

liên tục và đơn trị).
Giải:

z=f(x,y)
z

f(M)
i

O y
D
M
i
 S
x i

Hình 2.1
Gọi D là miền đóng giới nội trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi giao tuyến của
mặt trụ và mặt phẳng Oxy, D được gọi là đáy của vật thể hình trụ.

Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên
và cả diện tích của các mảnh ấy là S 1, S 2, …,S i,…, S n.
Lấy mỗi mảnh nhỏ S i làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có
đường sinh song song với trục Oz, phía trên được giới hạn bởi mặt cong z = f(x,y).

Như vậy vật thể hình trụ đang xét được chia thành n vật thể hình trụ nhỏ.
Trong mảnh nhỏ S i (i = 1,2,…,n) ta lấy một điểm M i(x i,y i) tùy ý, ta có =
( , ).

28