Page 33 - Giáo trình Giải tích

Theo ứng dụng của tích phân xác định thì S(x) được tính bởi

( ) = ∫ ( , ) .

Vậy ta có,

∬ ( , ) = ∫ [∫ ( , ) ] . (2.2)

Cũng có thể viết:

∬ ( , ) = ∫ [∫ ( , ) ] . (2.3)

Chú ý:
i) Công thức (2.2) vẫn đúng khi f(x,y) liên tục và âm trên D.
ii) Việc tính tích phân bội hai được đưa về tính hai tích phân đơn liên tiếp.

Khi tính tích phân bội hai ở công thức (2.2) ta phải tính ∫ ( , ) trước

(ta xem x là hằng số), được hàm một biến x, tính tiếp tích phân đơn theo biến x.

iii) Thay vào tính thể tích của vật thể hình trụ bởi công thức = ∫ ( ) ,

ta có thể tính bởi công thức = ∫ ( ) (S(y) là diện tích thiết diện vuông góc

với Oy tại y [c,d] của vật thể) và ( ) = ∫ ( , ) .

Như vậy,

∫ [∫ ( , ) ] = ∫ [∫ ( , ) ] . (2.4)

công thức (2.4) được gọi là công thức đổi thứ tự lấy tích phân.
iv) Nếu f(x,y) = f 1(x).f 2(y) thì

∬ ( , ) = ∫ ( ) . ∫ ( ) . (2.5)
2
1

Trong trường hợp này tích phân bội hai bằng tích (thật sự) của hai tích phân
đơn nên ta tính các tích phân đơn độc lập (tích phân nào trước cũng được) rồi đem
kết quả nhân với nhau.
Ví dụ 2.1: Tính các tích phân sau

a) = ∬ ( + ) , với miền D: 0 ≤ x ≤1, -1 ≤ y ≤ 2.

b) = ∬ , với miền D: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

Giải:
a) Áp dụng công thức (2.3) ta có
1 2 1  1 2  y= 2 1  3   3 3  1

I = dx  (x + y)dy =   xy + y  dx =   3x +  dx  = x + x  = 3.
2
0 1 - 0  2  y= -1 0  2   2 2  0
32