Page 38 - Giáo trình Giải tích

Cặp số có thứ tự (r,) được gọi là các tọa độ cực của điểm M, với r  0,
  [0,2).

M


O
x
Hình 2.7
- Công thức tính
Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Descartes (x,y) và các tọa độ cực (r,) của

cùng một điểm M, ta dựng hệ trục tọa độ Descartes có gốc tại cực, trục hoành trùng
trục cực.
 = rcosx 
Ta có  (**)
 y = rsin 
Nếu r> 0,   [0,2) thì (**) xác định một song ánh giữa các tọa độ Descartes
và các tọa độ cực (riêng điểm O(0,0) có r = 0,  tùy ý).

Do đó ta có thể xem (**) như một phép đổi biến.
Định thức Jacobi của x,y đối với r,:
cos − rsin
J = = r  0 (trừ điểm O)
sin rcos

Do đó ta có công thức:

 f(x, y)dxdy =  f(rcos , rsin )rdrd (2.13)
D D'
Chú ý:
i) Công thức (2.13) vẫn đúng trong trường hợp D chứa gốc O.
ii) Nếu D được giới hạn bởi r 1()  r  r 2(),  1     2 thì
 2 r 2 ( )

 f(x, y)dxdy = d  f(rcos , rsin )rdr (2.14)
D  1 r 1 ( )
Nếu D là hình tròn tâm trùng cực, bán kính R thì
2π R

 f(x, y)dxdy = d  f(rcos , rsin )rdr (2.15)
D 0 0
iii) Nếu D được giới hạn bởi  1     2, r 1  r  r 2, và
f(rcos, rsin) = f 1().f 2(r) thì
2 2

∬ ( , ) = ∫ ( ) . ∫ ( ) (2.16)
1
2
1 1

37