Page 41 - Giáo trình Giải tích

4
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng Oxy.
Diện tích của mặt cong S được tính bởi:

= ∬ √1 − ′ − ′ (2.19)
2
2

Bài tập:
a) Tính ∬ (2 + 1) .

Với D được giới hạn bởi các đường: y =1; y= 3, x =0 và x =y .
2
2
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x =2, x =5, y =1 và y=x .
2.1.5. Ứng dụng cơ học của tích phân bội 2

a) Khối lượng bản phẳng
Cho một bản phẳng chiếm một miền D (đóng, giới nội) trong mặt phẳng Oxy,
tại điểm (x,y)∈D có khối lượng riêng δ(x,y) và δ (x,y) là hàm liên tục trên D. Ta có
công thức tính khối lượng của bản phẳng D:

= ∬ δ( , )

Ví dụ 2.8: Tính khối lượng của một bản phẳng hình tròn, bán kính R, khối
lượng riêng tại P(x,y) bằng khoảng cách từ P tới tâm hình tròn nhân với k (k>0).
Giải:
Không mất tính tổng quát ta chọn hình tròn có tâm trùng với gốc tọa độ.

y δ (x,y)=k(x +y )
2
2 1/2

y
x
0 y R

Hình 2.10

= ∬ δ( , ) =k∬ √ + , chuyển sang tọa độ cực ta có
2
2

2 3 2
3
2
= ∫ ∫ √ = 2 ] =
0 0 3 0 3
b) Moment quán tính của bản phẳng
Ta biết moment quán tính của một chất điểm khối lượng m đặt tại điểm P(x,y)
lần lượt đối với các trục Ox, Oy và gốc tọa độ là

4 Bạn tưởng tượng rằng khi bạn che dù đi ngoài nắng, bề mặt của dù chính là mặt cong S và bóng râm trên mặt đất
chính là hính chiếu D của S trên mặt phẳng Oxy.
40