Page 40 - Giáo trình Giải tích

= ∫ (2.17)

Ví dụ 2.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=1-x, y=2-x, y=2x-1, y=2x-3.
Giải:
Các đường được viết lại x+y=1; x+y=2; 2x-y=1; 2x-y=3.
+ 2 −
Đổi biến đặt u=x+y, v=2x-y, vậy ta có = , = và
3 3
( , ) 1/3 1/3
= = [ ]
( , ) 2/3 −1/3
3
2
2
1
=>|det(J)|=1/3 và 1≤u≤2, 1<v≤3. Vậy = ∫ ∫ = .

1
3 1
3
b) Thể tích vật thể hình trụ
Thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, một mặt trụ có
đường sinh song song với trục Oz và một mặt cong có phương trình z = f(x,y) (f(x,y)
 0, f(x,y) liên tục và đơn trị trên miền D đóng, giới nội) là
= ∬ ( , ) . (2.18)

Ví dụ 2.7: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hình trụ có đường sinh song song
2
2
2
2
trục Oz, đường chuẩn x +y =1; mặt cong z=2-x -y ; mặt phẳng z=0.
Giải:
Vật thể giới hạn bởi các mặt trên là vật thể hình trụ có đáy là hình tròn tâm
2
2
(O,1) thuộc mặt phẳng (Oxy), phía trên giới hạn bởi mặt cong z = 2- x -y . Ta có
2
2
= ∬(2 − − )

2
với D: x +y 1.
2
2 1 2 3
Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có = ∫ ∫ (2 − ) = .
0 0 2
z 2 2
x +y =1

z =2 -x -
2
y
2

y

x Hình 2.9
c) Diện tích mặt cong
Xét mặt cong S (giới hạn bởi một đường cong kín) có phương trình
z = f(x,y) (f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục)

39