Page 35 - Giáo trình Giải tích

c) Miền D xác định bởi các bất đẳng thức kép x 1(y) ≤ x ≤ x 2(y), c ≤ y ≤ d
Với x 1(y), x 2(y) là những hàm liên tục và đơn trị trên [c,d], giả sử f(x,y) liên
tục, không âm trên D.
y

d

x=x1(y) x=x2(y)

c D
x

0
Hình 2.5

Lập luận tương tự trường hợp trên, ta có
Cũng có thể viết:

( )
2
∬ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) (2.8)

( )
1
Chú ý: Công thức (2.8) vẫn đúng khi f(x,y) liên tục và âm trên D.
d) D là miền bất kỳ, mọi đường thẳng song song với các trục Ox, Oy cắt D
tại tối đa 2 điểm.
f(x,y) liên tục, đơn trị và không âm trên D.
Dựng hình chữ nhật nhỏ nhất có các cạnh song song với Ox, Oy chứa D, giả
sử hình chữ nhật ấy được xác định bởi a x b, c y d.
Gọi M, N, P, Q là các giao điểm của biên hình chữ nhật với biên của D.

y Q
d

M D P

c
N x
0 a b

Hình 2.6
Các điểm M và P chia biên của D thành hai cung: cung MNP và cung MQP
có phương trình lần lượt là y =y 1(x), y =y 2(x). Vậy

( )
2
∬ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) (2.9)

( )
1

Các điểm N và Q chia biên của D thành hai cung: cung NMQ và cung NPQ
có phương trình lần lượt là x =x 1(y),x =x 2(y). Vậy,

34