Page 36 - Giáo trình Giải tích

( )
2
∬ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) . (2.10)

( )
1
Từ đó dẫn đến công thức đổi thứ tự lấy tích phân
( ) ( )
2
2
∫ ∫ ( , ) = ∫ ∫ ( , ) . (2.11)
( ) ( )
1
1

Ví dụ 2.2: Tính các tích phân sau
a) = ∬ (2 + ) , với miền D được giới hạn bởi các đường:

x = 1, y = 0 và y =x.

b) Tính diện tích miền phẳng D trong mặt phẳng Oxy được giới hạn bởi:
2
y  0, y = x và x = 2.
Giải:
a) D: 0 x 1, 0 y x
1 1 1 = 5 1 5
2
2
= ∫ ∫ (2 + ) = ∫ (2 + )| = ∫ = .
0 0 0 2 = 0 2 0 6
b) Ta có = ∬ .

D: 0 x 2, 0 y x .
2
2 2 2 = 2 2 8
2
= ∬ = ∫ ∫ = ∫ ( | ) = ∫ = .

0 0 0 = 0 0 3

2.1.3. Đổi biến trong tích phân bội 2

a) Trường hợp tổng quát
Giống như bài toán tích phân hàm một biến, đôi khi phép đổi biến sẽ giúp
chúng ta tính được tích phân một cách dễ dàng hơn. Để tính tích phân

= ∬ ( , )

= ( , )
Thực hiện phép đổi biến: { (∗)
= ( , )
Giả sử phép đổi biến thỏa mãn:
i) Các hàm x(u,v),y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền
đóng D’ (Ouv).
ii) Phép đổi biến xác định một song ánh từ D’ lên D.

( , ) ′ ′
iii) = = [ ] gọi là ma trận Jacobi có det(J)=|J|0, (u,v) D’.
( , ) ′ ′
Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội hai:

35