Page 37 - Giáo trình Giải tích

∬ ( , ) = ∬ ( ( , ), ( , ))| | (2.12)

′
Ví dụ 2.3:
Tính = ∬ ( + )( − ) , với D được giới hạn bởi các đường:
2

x +y =1; x +y =3; x –y =0; x –y =1

x+y=3 x
x=y
x+y=1

x-y=1

0 x

Ta hình dung rằng miền lấy tích phân là một hình chữ nhật “nằm nghiêng”, ta
thực hiện một phép quay để hình chữ nhật có các cạnh song song các trục tọa độ.
Thực hiện phép đổi biến:
1
= ( + )
2
{ 1
= ( − )
2
2
D’ = { (u,v) ∈ ℝ | 1 ≤ u ≤ 3; 0 ≤ v ≤1}.
Phép đổi biến trên xác định một song ánh từ D’ lên D. Định thức Jacobi của
x,y đối với u,v:

2 / 1 2 / 1
1
J = = − ≠0, (u,v).
2 / 1 − 2 / 1 2

1 3 1 2
2
2
Vậy, = ∬ | | = ∫ . ∫ = .
2 1 0 3
′
b) Đổi biến trong tọa độ cực
- Định nghĩa hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng chọn 1 điểm O cố định gọi là cực, 1 trục gọi là trục cực. Hệ
tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực.
Vị trí của một điểm M trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi 2 số:
r=OM được gọi là bán kính véc tơ hay bán kính cực,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 = (Ox,OM) (góc tạo bởi tia Ox và véc tơ ) được gọi là góc cực, là góc
định hướng (có chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ).

36