Page 30 - Giáo trình Giải tích

Khi S i có diện tích đủ nhỏ, ta có thể xem thể tích của vật thể hình trụ thứ i là
V i xấp xỉ thể tích của một hình trụ thẳng có diện tích đáy S i và chiều cao =
( , ), nghĩa là V i  f(x i,y i). S i.

Nếu mọi S i đều có diện tích đủ bé thì thể tích của vật thể hình trụ là
n
i 
.
V =  ΔV  n f(x i y , i ) ΔS i
i= 1 i= 1
Phép tính này càng chính xác nếu n càng lớn (các S i càng nhỏ, nghĩa là đường
kính d i của S i càng nhỏ).
Do đó thể tích của vật thể hình trụ bằng giới hạn nếu có của ∑ ( , )∆

=1

khi n→ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính của các S i dần tới 0.
Nghĩa là:
= lim ( , )∆ .

→0

Ngoài bài toán trên, trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học kỹ thuật còn có
nhiều bài toán mà kết quả đều đưa đến tìm giới hạn của một tổng có dạng trên. Toán
học đã định nghĩa cho khái niệm này này là tích phân bội hai hay tích phân kép.
Định nghĩa 2.1. Cho hàm z = f(x,y) xác định trên miền đóng, giới nội D nằm
trong mặt phẳng Oxy. Chia D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giẫm lên
nhau, gọi tên và cả diện tích của các mảnh ấy là S 1, S 2, …,S i,…, S n.
Trong mỗi mảnh nhỏ S i (i = 1, 2, …, n) lấy một điểm M i(x i,y i) tùy ý và lập
n
tổng I n =  f(x , y ) ΔS (I n được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trên miền D).
i
i
i
i= 1
Khi n→ sao cho maxd i →0 mà I n dần tới một giới hạn xác định I không phụ
thuộc vào cách chia D và cách lấy điểm M i trong S i thì I được gọi là tích phân bội
hai hay tích phân kép của hàm f(x,y) trong miền D.
Ký hiệu: ∬ ( , ) .

Như vậy,

∬ ( , ) = lim ∑ ( , )∆ (2.1)

→0

=1
Trong đó: D được gọi là miền lấy tích phân;
f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân;
f(x,y)dS là biểu thức dưới dấu tích phân;
x, y là các biến tích phân;
dS là yếu tố diện tích.
Chú ý:
i) Nếu tồn tại tích phân (2.1) ta nói f(x,y) khả tích trên D.
3
ii) Nếu f(x,y) liên tục (hoặc độ đo các điểm gián đoạn bằng không) trên một
miền đóng, giới nội thì khả tích trên đó.

3 Độ đo, ta hình dung đơn giản có thể “sắp xếp” các điểm gián đoạn liên tiếp nhau trên 1 cung và “chiều dài” cung đó
bằng 0.
29