Page 44 - Giáo trình Giải tích

∭ ( , , ) (2.28)


Chú ý: Nếu f(x,y,z)=1 thì ∭ ( , , ) = (), thể tích của .

Tính chất:

1) ∭ . = . ∭ .


2) ∭ ( + ) = ∭ + ∭ .
  
3) Nếu = 1  2 và  1 2= thì ∭ = ∭ + ∭ .
  1  2
4) Nếu f(x,y,z)≥ g(x,y,z), ∀(x,y,z)∈ thì ∭ ≥ ∭ .
Ù  2
5) Nếu f(x,y,z) liên tục trên miền đóng, bị chặn  thì tồn tại M 0(x 0,y 0,z 0) ∈
1
sao cho ( , , ) = ∭ ( , , ) (Định lý về trị trung bình).
0
0

() 
2.2.2. Cách tính
Tích phân bội ba trong tọa độ Descartes

Cho miền  giới hạn bởi:
- Mặt dưới z=φ 1(x,y).
- Mặt trên z=φ 2(x,y).
- Xung quanh: Mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường

chuẩn là biên của miền D thuộc mặt phẳng Oxy. (D là hình chiếu của  xuống mặt
phẳng Oxy).
Khi đó,
( , )
1
∭ ( , , ) = ∬ [ ∫ ( , , ) ]

Ù ( , )
1
Nếu miền D được xác định bởi {( , ): ≤ ≤ ; ( ) ≤ ≤ ( )} thì
2
1
( ) ( , )
2
2
∭ ( , , ) = ∫ ∫ ∫ ( , , )
Ù ( ) ( , )
1
1
Ví dụ 2.10: Cho miền  giới hạn bởi các mặt: x=0, y=0, z=0, x+y+2z=2. Viết
tích phân bội ba ∭ ( , , ) theo các thứ tự:
Ù
a) dxdydz
b) dxdzdy
c) dydzdx

43