Page 49 - Giáo trình Giải tích

2 2 4
3
2
= ∭ = ∫ ∫ ∫
Ù 0 0 2
2
2 3 2 4 6 64
= 2 . ∫ (4 − ) = 2 ( − )| = .
0 6 3
0
c) Đổi biến trong tọa độ cầu z

z

ố r M
O y y
ử
x M’
x
Hình 2.15
Tọa độ cầu của điểm M(x,y,z) là bộ ba số (r,ố,φ) với r=OM, ố là góc giữa trục
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Oz và véc tơ , φ là góc giữa trục Oz và véc tơ ′, M’ là hình chiếu M xuống
mặt phẳng Oxy (Hình 2.15).
Ta luôn có r≥0, 0≤ố ≤π, 0≤φ ≤2π.
Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cầu
=
{ = (2.31)

=
Với phép đổi biến như trên ta có định thức của ma trận Jacobi

| | −
x
2
= = | | = −

| | 0 −

Ta có,

∭ ( , , )

Ù

2
= ∭ ( , , ) (2.32)
Ù
2
2
2
Ví dụ 2.14: Tính ∭ ( + + ) với  là miền giới hạn bởi hai mặt
Ù
2
2
2
2
2
2
cầu x +y +z =1 và x +y +z =4.

48