Page 54 - Giáo trình Giải tích

Với cung AB trơn, được cho bởi phương trình tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t 1 t t 2 (A, B ứng với các trị t 1,t 2), f(x,y,z) liên tục
trên cung AB.

2
2
2
′
Công thức tính vi phân cung: = √ ( ) + ( ) + ( ) .
′
′
Do đó ta có công thức tính tích phân đường loại một:
2
2
2
2
′
′
′
∫ ( , , ) = ∫ ( ( ), ( ), ( ))√ ( )+ ( ) + ( ) (2.41)
1 2
Ví dụ 2.18: Tính ∫ √2 . Với L xác định bởi: x = t, = 2 , 0  t  1.

Giải:
Áp dụng công thức (2.32) ta có
1 1
2 1
2
√
2
2
2
∫ √2 = ∫ 2 √1 + = ∫ √1 + (1 + )
2 2
0 0
1 2 3 1 1
2
= . (1 + )2] = (2 3/2 − 1).
2 3 0 3 2 3

Ví dụ 2.19: Tính  2y ds . Với L xác định bởi: x = t, = , = , 0  t  1.
L 2 3
Giải:
Áp dụng công thức (2.39) ta có
1 1 1  2 3


 2y ds = t 1 + t 2 + dt = t  2 +  + dt
4
t
 t
L 0 0  2  4
1 1 1  2 3 1 
=   2 +  + d  2 + 
 t
 t

2 0 1 2  4  2   1
 2 +
t
1  2 3 1  
=  1 + t 2 + t 4 + ln  2 + + 1 + t 2 + t 4  
 t
2  2 8  2  
  0
1  3 3 + 2 3 
=  3 3 −1 + ln 


8  2 3 
c) Ứng dụng tích phân đường loại 1
- Khối lượng cung
Cung AB có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) là (M) = (x,y,z) thì khối
lượng của nó là = ∫ ( , , ) .

-Xác định trọng tâm của cung đường
Cung AB có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) là (M) = (x,y,z) thì các tọa
độ của trọng tâm G của cung AB là

53