Page 58 - Giáo trình Giải tích

Chú ý:
Nếu cung AB trơn được cho bởi phương trình y = y(x) với a là hoành độ của
điểm A, b là hoành độ của điểm B thì ta có thể xem phương trình tham số của cung
AB là x = x, y = y(x).
Do đó ta có công thức:

′
∫ ( , ) + ( , ) = ∫[ ( , ( )) + ( , ( )) ( )] (2.46)

Ví dụ 2.21: Tính tích phân sau và nêu nhận xét từ kết quả thu được

= ∫ −

a) Cung AB là 1/4 đường tròn (O,R) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
2
b) Cung AB là cung parabol y = x đi từ A(0,0) đến B(1,1).
3
c) Cung AB là cung y = x đi từ A(0,0) đến B(1,1).
Giải:
a) Phương trình tham số của cung AB là x = Rcost, y = Rsint,

với t A = 0, t B = /2
π/2
I =  [Rsint.(− Rsint) − Rcost.Rcos t]dt

0
π/2 πR 2
−  R 2 dt = − R 2 t π/2 = −
=
0
0 2
b) Phương trình tham số của cung AB là x = x, y = x , t A = 0, t B = 1.
2
1 1 1

Ta có: I = (x − x.2x)dx = −  x 2 dx = −
2
0 0 3
3
c) Phương trình tham số của cung AB: x = x, y = x , t A = 0, t B = 1.
1 1 1

3
=
Ta có: I = (x − x.3x 2 )dx − 2  x 3 dx = −
0 0 2
Nhận xét: Tích phân đường loại hai không những phụ thuộc vào vị trí 2 đầu
mút A, B mà còn phụ thuộc vào dạng đường đi từ A đến B.

Trường hợp đường lấy tích phân trong không gian
Tích phân đường loại hai của 3 hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) dọc theo cung
AB trong không gian tương tự định nghĩa tích phân đường loại hai của 2 hàm P(x,y),

Q(x,y) dọc theo cung AB trong mặt phẳng.
Nghĩa là,

∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =

57