Page 63 - Giáo trình Giải tích

S 1, S 2, ….S n. Trong mỗi mảnh S i lấy điểm tuỳ ý M i(x i,y i,z i), gọi d i là đường
kính mảnh S i (i= n,1 ) nếu:

lim ∑ ( ) ∆ (2.57)
→∞
max →0 =1

xác định không phụ thuộc vào phép chia S và cách chọn M i, thì giới hạn (2.57) được
gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt cong S.

Ký hiệu: ∬ ( , , ) .

Hàm tồn tại tích phân trên S được gọi là hàm khả tích trên S.

Điều kiện để hàm khả tích
Hàm f(x,y,z) khả tích khi thỏa mãn các điều kiện sau:
- Mặt cong S trơn (liên tục và có pháp tuyến biến thiên liên tục),
- Hàm f(x,y,z) liên tục trên S.
Chú ý:
i) Nếu mặt cong S có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) biểu diễn bằng hàm
số (x,y,z) thì khối lượng riêng của mặt cong được tính bằng công thức:

= ∬ ( , , ) .

ii) Diện tích mặt cong = ∬ .

iii) Tích phân mặt có các tính chất giống tích phân xác định.
b) Cách tính
Giả sử mặt cong S cho bởi phương trình z=z(x,y), trong đó ta có z’ x, z’ y liên
tục trong miền đóng giới nội D.

Chia S thành n mảnh nhỏ S 1, S 2, …., S n, trong mỗi mảnh S i lấy điểm tuỳ
ý M i(x i, y i, z i), gọi  i là hình chiếu của mảnh S i lên mặt phẳng Oxy, ta gọi T i là
mảnh tiếp diện của mặt S tại diểm M i mà hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxy cũng

2
2
′
là  i, ta có ∆ = √1 + ( , ) + ( , )∆
′

2
2
⇒ ∆ ⋍ √1 + ( , ) + ( , )∆
′
′

2
2
⇒ ∑ ( ) ∆ ⋍ ∑ ( , , ( , )) √1 + ( , ) + ( , )∆
′
′

=1 =1
Vế phải là tích phân của hàm ( , , ( , ))√1 + ′ + ′ trên miền D, do đó
2
2

62