Page 61 - Giáo trình Giải tích

x y

u(x,y) = P(x, y o )dx +  Q(x, y)dy + C (2.49)
x o y o
hay
y x

u(x,y) = Q(x o , y)dy +  P(x, y)dx + C (2.50)
y o x o
với (x o,y o) là một điểm tùy ý trong D.
Ví dụ 2.24:
Chứng minh rằng biểu thức (x – 2xy +3)dx + (y – 2x y +3)dy là vi phân
2
2
2
2
toàn phần của một hàm số nào đó? Tìm hàm số đó?
Giải:
2
2
2
2
Ta có P(x,y) = x – 2xy +3, Q(x,y) = y – 2x y +3
 P’ y = - 4xy, Q’ x = -4xy
2
 P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm số u(x,y) trong ℝ ,
áp dụng công thức (2.38) với x o = y o = 0, ta có

2
2
2
( , ) = ∫ ( + 3) + ∫ ( − 2 + 3) +
0 0
3 3
2 2
= + 3 + − + 3 + .
3 3
Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc tham số của cung lấy tích phân
Giả sử cung AB có phương trình tham số
= ( )
{ = ( )
= ( )
với a≤t≤b, t=a ứng với điểm A và t=b ứng với điểm B, ngoài ra có hàm số t=φ(s)
liên hệ giữa hai tham số t, s với ≤s≤õ, a=φ(), b=φ(õ). Khi đó cung AB có phương
trình tham số
= ( ( ))
{ = ( ( ))
= ( ( ))
với ≤s≤õ. Khi đó tích phân đường loại 2 của véc tơ
⃗
= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) dọc theo cung AB:

′
′
′
∫ + + = ∫( . ( ) + . ( ) + . ( ))

′
′
= ∫( . ( ( )) + . ( ( )) + . ( ( ))) . (2.51)
′

Điều này chứng tỏ tích phân đường loại 2 không phụ thuộc tham số của cung
lấy tích phân.

60