Page 60 - Giáo trình Giải tích

Chú ý:


i) Nếu P(x,y) = -y, Q(x,y) = x, ta có 2dxdy = - ydx + xdy
D L
hoặc  dxdy = 1  xdy - ydx.
D 2 L
ii) Chu tuyến C có thể bao gồm nhiều chu tuyến C 1, C 2, … Khi đó miền D gọi
là đa liên, và mỗi miền trong chu tuyến C i gọi là 1 thành phần liên thông. Miền D
gọi là đơn liên nếu chỉ có 1 thành phần liên thông.

Ví dụ 2.22: Tính diện tích 1/4 hình tròn (O,R).
Giải:
1
Không mất tính tổng quát ta xét hình tròn thuộc góc phần tư thứ nhất.
4
Theo công thức Green

 dxdy = 1  xdy - ydx = − 1  ydx - xdy .

D 2 L 2 L
Sử dụng kết quả ở ví dụ (2.20), ta có kết quả

 dxdy = 1  xdy - ydx = − 1  ydx - xdy = πR 2 .

D 2 L 2 L 4
2
Vậy diện tích hình tròn tâm gốc tọa độ, bán kính R là R .

Ví dụ 2.23: Tính I = (2xy + x + y)dx + (x 2 − x − y)dy với L là đường tròn (O,R)
L
Giải:
Đối với tích phân này ta tính bằng cách áp dụng công thức Green.
2
P = 2xy + x + y, Q = x - x – y, ta có P’ y = 2x + 1, Q’ x = 2x -1. Vậy,
 (2xy + x + y)dx + (x − x − y)dy = − 2  dxdy − 2S .
2
=
L D
e) Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.

Định lý 2.2. Giả sử P(x,y), Q(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên
miền đơn liên D. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
i) P’ y(x,y) = Q’ x(x,y), (x,y) D.

ii) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với L là đường kín bất kỳ trong D.
L

iii) P(x, y)dx + Q(x, y)dy không phụ thuộc vào dạng của đường lấy tích phân.
AB
(iv) P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trên D.
Nhận xét:
Nếu P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm số u(x,y) nào đó thì
 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u(B) – u(A) dọc theo mọi đường AB nằm trong D.

AB
2
Nếu D=ℝ thì P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) cho
bởi công thức:

59