Page 62 - Giáo trình Giải tích

2.3.3. Ứng dụng
a) Tính công
Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung đường cong L từ điểm A đến
⃗
điểm B dưới tác dụng của lực . Công mà lực đó sinh ra được tính bằng công thức

⃗
= ∫ ( ) .

⃗
Trường hợp trong không gian 2 chiều, với = ( ( , ), ( , )) thì

= ∫ ( , ) + ( , ) . (2.52)

Trường hợp trong không gian 3 chiều, với
⃗
= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) thì

= ∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) . (2.53)

b) Giải phương trình vi phân toàn phần
Nếu P(x,y)dx+Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của một hàm u(x,y) nào đó thì
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2.54)
là
x y

u(x,y) = P(x, y o )dx +  Q(x, y)dy + C (2.55)
x o y o
hay
y x

u(x,y) = Q(x o , y)dy +  P(x, y)dx + C (2.56)
y o x o
với (x o,y o) là một điểm tùy ý trong D.

Ví dụ 2.25:
Giải phương trình vi phân 2xydx+x dy=0.
2
Giải:
2
Với P(x,y)=2xy, Q(x,y)=x , Q’ x=2x, P’ y=2x, vậy Q’ x=P’ y.
Lấy x 0=0, y 0=0, ta có:

2
2
( , ) = ∫ 2 . 0 + ∫ + = + .
0 0
2.4. Tích phân mặt

2.4.1. Tích phân mặt loại 1
a) Định nghĩa, tính chất

Định nghĩa 2.5. Cho mặt cong S và hàm số f(M)=f(x,y,z) xác định trên S. Chia
S thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích của các mảnh ấy là

61