Page 67 - Giáo trình Giải tích

⃗
Φ = ∬ ⃗⃗ ∬(P. cosα + Q. cosβ + R. cosγ)dS (2.58)

S
⃗
(2.58) được gọi là tích phân mặt loại 2 của trường véc tơ trên mặt cong S.
Tích ∆ = (∆ ) là hình chiếu của mặt cong ∆ lên mặt phẳng Oxy.

Tương tự (∆ ) , (∆ ) hình chiếu của mặt cong ∆ lên mặt phẳng Oyz, Ozx.

Tích phân (3.12) còn được viết lại
ệ = ∬ P( , , ) + Q( , , ) + R( , , ) . (2.59)

S
Điều kiện khả tích
Nếu S là mặt định hướng, liên tục có các pháp tuyến biến thiên liên tục và các
hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục trên mặt cong S thì tồn tại tích phân mặt loại
hai của 3 hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trên mặt cong S.

b) Cách tính

Muốn tính tích phân mặt loại 2 ta đưa về các tích phân bội 2. Xét tích phân

I = ∬ ( , , ) . (2.60)

S
Giả sử mặt cong S có phương trình z=z(x,y) và mỗi đường thẳng song song

Oz cắt S không quá một điểm, khi đó S gọi là mặt đơn trị.
Nếu góc ó giữa véc tơ pháp tuyến ⃗⃗ của mặt cong S và trục Oz: 0≤ó ≤π/2 thì

I = ∬ R( , , ) = ∬ R(x, y, z(x, y))dxdy (2.61)

S D xy
với D xy là hình chiếu của S trên mặt phẳng O xy.
Nếu góc ó giữa véc tơ pháp tuyến ⃗⃗ của mặt cong S và trục Oz: π/2<ó ≤π thì

I = ∬ R( , , ) = − ∬ R(x, y, z(x, y))dxdy (2.62)

S D xy
Trong trường hợp đường thẳng song song Oz cắt mặt cong S tại nhiều hơn
một điểm, ta chia S thành các mặt con thỏa mãn điều kiện trên và tích phân bằng
tổng các tích phân trên các mặt cong đó. (Xem hình (2.18) để hiểu rõ hơn).

z S1
S2

S3
66

O y