Page 70 - Giáo trình Giải tích

2
2
= 3 ∭( + + )
2

Chuyển qua tọa độ cầu, ta được:
2
12
4
5
= 3 ∫ ∫ ∫ = .
5
0 0 0
d) Định lý Stokes
Định lý cho ta mối liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 và tích phân đường loại
2. Như đã biết công thức Green cho ta mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân
đường loại hai trên đường biên của miền phẳng lấy tích phân, công thức Stokes là
sự mở rộng công thức Green cho trường hợp miền là mặt cong trong không gian và
biên là một đường cong không phẳng.
Định lý 2.3: (Công thức Stokes)
Cho mặt định hướng S trơn từng khúc với biên là chu tuyến cũng trơn từng
khúc và không tự cắt (chu tuyến đơn giản). Giả sử P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) là các
hàm có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong một miền mở chứa S. Khi đó ta có

∬ ( − ) + ( − ) + ( − )

= ∮ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (2.64)

Trong đó hướng của chu tuyến C được lấy theo hướng dương ứng với mặt
định hướng S.
Ví dụ 2.30: Tính tích phân

= ∮ + +

2
2
2
2
với C là giao tuyến của mặt cầu x +y +z =R và mặt phẳng x+y+z = 0 theo hướng
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ hướng dương của trục Ox.

69