Page 75 - Giáo trình Giải tích

= ; = ; = .
0
0
0
(Ω) (Ω) (Ω)
3. Tích phân đường loại 1
- Cách tính

+ Cung AB trơn, được cho bởi phương trình tham số x= x(t), y = y(t),
t 1 t t 2 (A, B ứng với các trị t 1,t 2), f(x,y) liên tục trên cung AB.
2

2
2
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))√ ( ) + ( )
′
′
1
2
2
(vì ta có vi phân cung = √ ( ) + ( ) ).
′
′
+ Nếu cung AB được cho bởi phương trình: y = y(x), a ≤ x ≤ b thì ta có thể
coi phương trình tham số của cung AB là: x = x, y = y(x), a ≤ x ≤ b. Khi đó công thức
tính tích phân đường loại một:

2
∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))√1 + ( )
′

Tương tự, nếu cung AB được cho bởi phương trình: x = x(y), c ≤ y ≤ d. Ta có

thể coi phương trình tham số của cung AB là y = y, x = x(y), c ≤ y ≤ d.
Khi đó công thức tính tích phân đường loại một:

2
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), )√1 + ( )
′

+ Trường hợp đường lấy tích phân trong không gian
2
2
2
2
∫ ( , , ) = ∫ ( ( ), ( ), ( ))√ ( ) + ( ) + ( )
′
′
′
1
Ứng dụng tích phân đường loại 1
- Tính khối lượng cung
= ∫ ( , , ) .

- Xác định trọng tâm G(x G, y G, z G) của dây cung

1 1 1
= ∫ ( , , ) , = ∫ ( , , ) , = ∫ ( , , ) .

- Moment tĩnh, trọng tâm cung
= ∫ ( , ) , = ∫ ( , ) .

̂
̂

Từ đó trọng tâm khối lượng của cung AB được xác định bởi:
74