Page 68 - Giáo trình Giải tích

Hình 2.18

∬ R( , , ) = ∬ R( , , ) + ∬ R( , , ) + ⋯

S 1 2
2
Ví dụ 2.27: Tính tích phân ∬ + + với S là mặt
2
2

2
2
2
2
phía ngoài của nửa mặt cầu x +y +z =R , z≥0.
Giải:
Ta có I=I 1+I 2+I 3, với
2
2
2
2
= ∬ = ∬ ( − − )
3
2
2
+ ≤ 2
2
2 4 4
2
2
= ∫ ∫( − ) = 2 ( 2 − ) ] = ,
2 4 0 2
0 0
2
2
2
= ∬ = ∬ + ∬ .
2
1 2
2
Trong đó S=S 1+S 2 với S 1 tương ứng 1/4 mặt cầu x +y +z =R , z≥0, y≥0 và S 2
2
2
2
2
2
2
2
là 1/4 mặt cầu x +y +z =R , z≥0, y<0. Lưu ý rằng khi chuyển về tích phân bội 2 theo
nửa hình tròn trong mặt phẳng Oxz thì tích phân:
2
2
∬ = + ∬
1
và
∬ = − ∬
2
2
2

nên = 0. (Dzx là nửa hình tròn z +x ≤R , z≥0 trong mặt phẳng Ozx). Tương tự ta
2
2
2
2
4
có I 1=0, nên = .
2
Ví dụ 2.28:
Tính = ∬ với S là mặt phía ngoài của mặt cầu x +y +z =R .
2
2
2
2
Giải:
Gọi S 1, S 2 là các nửa mặt cầu ứng với z≥0 và z≤0.
Trên S 1 ta có = √ − − , D: x +y ≤R .
2
2
2
2
2
2
67